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课时提升作业(八)
含有一个量词的命题的否定
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2014·安徽高考)命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是 ( )
A.∀x∈R，|x|+x2<0
B.∀x∈R，|x|+x2≤0
C.∃x0∈R，|x0|+<0
D.∃x0∈R，|x0|+≥0
【解析】选C.命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|+<0”.
2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为 ( )
A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2n
C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2=2n
【解析】选C.p：∀n∈N，n2≤2n.
【补偿训练】命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是 ( )
A.有些三角形不是等腰三角形
B.所有三角形是等边三角形
C.所有三角形不是等腰三角形
D.所有三角形是等腰三角形
【解析】选C. p是“所有三角形不是等腰三角形”.
3.(2015·中山高二检测)已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+<0，命题q：∃x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是 ( )
A.p是真命题 B.q是假命题
C.p是假命题 D. q是假命题
【解题指南】先判断p，q的真假，再得p，q真假，进而得结论.
【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0，
所以p是假命题，p为真命题.
又sinx0-cosx0=sin≤，故q是真命题，q为假命题.所以选D.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.(2015·烟台高二检测)已知命题p：∀x>2，x3-8>0，那么p是________.
【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【解析】命题p为全称命题，其否定为特称命题，
则p：∃x0>2，-8≤0.
答案：∃x0>2，-8≤0
5.(2015·资阳高二检测)已知命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】因为若命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0是假命题，则p是真命题，说明x2+ax+a≥0恒成立，
所以Δ=a2-4a≤0，
解得0≤a≤4.
答案：
【补偿训练】(2014·烟台高二检测)已知命题p：任意x∈R，ax2-2x+3≥0，如果命题p是真命题，求实数a的取值范围.
【解析】因为命题p是真命题，
所以p是假命题.
又当p是真命题，
即ax2-2x+3≥0恒成立时，
应有解得a≥，
所以当p是假命题时，a<.
所以实数a的取值范围是.
三、解答题
6.(10分)写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)p：一切分数都是有理数.
(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′.
(3)r：若an=-2n+10，则存在n∈N，使Sn<0(Sn是{an}的前n项和).
(4)s：∀x∈Q，使得x2+x+1是有理数.
【解析】(1)p：存在一个分数不是有理数，假命题.
(2)q：直线l垂直于平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直，假命题.
(3)r：若an=-2n+10，则∀n∈N，有Sn≥0，假命题.
(4)s：∃x0∈Q，使+x0+1不是有理数，假命题.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·天津高二检测)已知命题p：∀b∈.
答案：(-∞，1]
三、解答题
5.(10分)已知函数f(x)=x2，g(x)=-m.
(1)x∈，求f(x)的值域.
(2)若对∀x∈，g(x)≥1成立，求实数m的取值范围.
(3)若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，求实数m的取值范围.
【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域.
(2)根据对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1，而g(x)在上单调递减，利用其单调性建立关于m的不等关系，即可求得实数m的取值范围.
(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在
上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，从而建立关于m的不等式，由此可求结论.
【解析】(1)当x∈时，函数f(x)=x2∈，
所以f(x)的值域为.
(2)对∀x∈，g(x)≥1成立，
等价于g(x)在上的最小值大于或等于1.
而g(x)在上单调递减，
所以-m≥1，即m≤-.
(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在
上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，由1-m≤9，所以
m≥-8.
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