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课时提升作业(九)
椭圆及其标准方程
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选D.因为a=5，点P到一个焦点的距离为2，所以点P到另一个焦点的距离为2×5-2=8.
2.(2015·珠海高二检测)椭圆+=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 ( )
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
【解析】选A.不妨设F1(-3，0)，F2(3，0)，由条件知P，即|PF2|=，由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，|PF1|=，|PF2|=，
即|PF1|=7|PF2|.
3.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是 ( )
A.+x2=1 B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1 D.以上都不对
【解析】选A.设椭圆方程为：Ax2+By2=1(A>0，B>0)，
由题意得解得
4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 ( )
A.(0，+∞) B.(0，2)
C.(1，+∞) D.(0，1)
【解析】选D.先将方程x2+ky2=2变形为+=1.
要使方程表示焦点在y轴上的椭圆，需>2，
即0
A.-1 B.1 C. D.-
【解析】选B.由5x2+ky2=5得，x2+=1.
因为焦点为(0，2)，所以a2=，b2=1，
所以c2=a2-b2=-1=4，
所以k=1.
5.已知椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|-|MF2|=1，则△MF1F2是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
【解题指南】利用条件和椭圆的定义解出|MF1|，|MF2|的长度，再判断.
【解析】选B.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4，且已知|MF1|-|MF2|=1，所以|MF1|=，|MF2|=.又|F1F2|=2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2.因此∠MF2F1=90°，即△MF1F2为直角三角形.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知椭圆的标准方程为+=1(m>0).且焦距为6，则实数m的值为__________.
【解析】若椭圆的焦点在x轴上，则a2=25，b2=m2，
因为a2=b2+c2，
即25=m2+9，所以m2=16，
因为m>0，所以m=4.
若椭圆的焦点在y轴上，
则a2=m2，b2=25，
由a2=b2+c2，
所以m2=25+9，
所以m2=34，因为m>0，所以m=.
综上可得m=4或m=.
答案：m=4或m=
【误区警示】忽视焦点位置，导致丢解
椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论.
【补偿训练】椭圆+=1的焦距等于2，则m的值是________.
【解析】当焦点在x轴上时，m-15=1，m=16；当焦点在y轴上时，15-m=1，m=14.
答案：16或14
7.(2015·双鸭山高二检测)已知F1，F2是椭圆
C：+=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，
且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b=__________.
【解析】因为⊥，
所以PF1⊥PF2，
因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2，
所以(2a)2-2|PF1|·|PF2|=(2c)2，
因此|PF1|·|PF2|=2b2.
由=|PF1|·|PF2|=b2=9，所以b=3.
答案：3
8.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(-4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=____________.
【解题指南】利用正弦定理求解.
【解析】由题意知，A，C为椭圆的两焦点，
则|AC|=8，|AB|+|BC|=10.
所以，===.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆上一点P(3，2)到两焦点的距离之和为8.
(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.
【解析】(1)①若焦点在x轴上，
可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由题意知2a=8，所以a=4，
又点P(3，2)在椭圆上，
所以+=1，得b2=.
所以椭圆的标准方程为+=1.
②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：
+=1(a>b>0)，
因为2a=8，所以a=4.
又点P(3，2)在椭圆上，
所以+=1，得b2=12.
所以椭圆的标准方程为+=1.
由①②知椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2)由题意知，2c=16，2a=9+15=24，
所以a=12，c=8，
所以b2=80.
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以所求方程为
+=1或+=1.
10.已知圆B：(x+1)2+y2=16及点A(1，0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.
【解题指南】利用椭圆定义先判断P的轨迹是椭圆.
【解析】如图所示，连接AP，
因为l垂直平分AC，所以|AP|=|CP|，
所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4.
所以P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
因为2a=4，2c=|AB|=2，
所以a=2，c=1，b2=a2-c2=3.
所以点P的轨迹方程为+=1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·长春高二检测)在△ABC中，B(-2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
条件
方程
①△ABC周长为10
C1：y2=25
②△ABC面积为10
C2：x2+y2=4(y≠0)
③△ABC中，∠A=90°
C3：+=1(y≠0)
则满足条件①②③的点A轨迹方程按顺序分别是 ( )
A.C3，C1，C2 B.C2，C1，C3
C.C1，C3，C2 D.C3，C2，C1
【解题指南】根据条件逐一判断轨迹形状.
【解析】选A.当△ABC的周长为常数时，顶点A到点B，C的距离之和为常数，所以轨迹为椭圆；当△ABC的面积为常数时，顶点A到直线BC的距离为常数，所以轨迹为平行于BC的两条直线；当△ABC中∠A=90°时，轨迹是以线段BC为直径的圆，故选A.
2.设α∈，方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.由题意可知<，
所以sinα>cosα>0，
又因为α∈，解得<α<.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·南昌高二检测)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且b=2的椭圆方程是__________.
【解析】由9x2+4y2=36，得+=1，
所以=9，=4，得c1=，
所以焦点坐标为(0，)，(0，-).
因为所求椭圆与9x2+4y2=36有相同焦点，设方程为+=1，则a2=b2+c2=(2)2+()2=25，
所以所求方程为+=1.
答案：+=1
【一题多解】由9x2+4y2=36，得+=1，
设与9x2+4y2=36共焦点的椭圆的方程为+=1.
由4+k=(2)2，得k=16.
所以所求椭圆方程为+=1.
答案：+=1
4.(2015·哈尔滨高二检测)已知椭圆+y2=1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0=__________.
【解析】由椭圆的方程为+y2=1，得c=2，
所以F1(-2，0)，F2(2，0)，=(-2-x0，-y0)，
=(2-x0，-y0).
因为∠F1PF2为直角，所以·=0，
即+=4，①
又+=1，②
①②联立消去得=，
所以x0=±.
答案：±
【延伸探究】若把条件“当∠F1PF2为直角时”改为|PF1|=+，
则∠F1PF2=__________.
【解析】由椭圆的方程为+y2=1，
得2a=2，2c=4，因为|PF1|+|PF2|=2a=2，
所以|PF2|=-，
而|PF1|2+|PF2|2=(+)2+(-)2=16=|F1F2|2，所以∠F1PF2为直角.
答案：90°
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.设椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆E于A，B两点，满足|AF1|=2|F1B|，且|AB|=3，△ABF2的周长为12.
(1)求|AF2|.
(2)若cos∠F1AF2=-，求椭圆E的方程.
【解析】(1)|AF1|=2|F1B|，|AB|=3，
所以|AF1|=2，|F1B|=1.
因为4a=12，所以a=3，
所以|AF1|+|AF2|=6，所以|AF2|=4.
(2)因为|AF1|=2，|AF2|=4，cos∠F1AF2=-，
所以|F1F2|==2，
所以c=，b2=a2-c2=3，
所以椭圆E的方程为+=1.
6.(2015·南京高二检测)设F1，F2分别是椭圆+y2=1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，-1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求||·||的最大值.
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且=λ，求λ的值.
【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1，
所以a=2，b=1，c=，
即|F1F2|=2，
又因为|PF1|+|PF2|=2a=4，
所以|PF1|·|PF2|≤==4，
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，
即||·||的最大值为4.
(2)设C(x0，y0)，B(0，-1)，F1(-，0)，
由=λ得x0=，y0=-.
又+=1，所以有λ2+6λ-7=0，
解得λ=-7或λ=1，又与方向相反，故λ=1舍去，λ=-7.
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