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课时提升作业(七)
反 证 法
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2014·山东高考)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
【解析】选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”
【补偿训练】(2015·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( )
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
【解析】选B.三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确.
2.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )
A.无解 B.两解
C.至少两解 D.无解或至少两解
【解析】选D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”.
3.实数a，b，c满足a+2b+c=2，则( )
A.a，b，c都是正数
B.a，b，c都大于1
C.a，b，c都小于2
D.a，b，c中至少有一个不小于
【解析】选D.假设a，b，c均小于，则a+2·b+c<+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.
4.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
【解析】选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.
5.(2015·杭州高二检测)设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值( )
A.都大于2 B.至少有一个不大于2
C.都小于2 D.至少有一个不小于2
【解题指南】由基本不等式知三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.
【解析】选D.假设a+，b+，c+都小于2，
即a+<2，b+<2，c+<2，
所以++<6，
又a>0，b>0，c>0，
所以++
=++≥2+2+2=6.
这与假设矛盾，所以假设不成立.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2015·西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是 .
【解析】该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.
答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”
【延伸探究】命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是 .
【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角.
答案：“三角形中最少有两个内角是直角”
7.(2015·广州高二检测)用反证法证明命题：“已知a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 .
【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.
命题“a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.
答案：a，b都不能被5整除
8.(2015·郑州高二检测)对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)=x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在好点，那么a的取值范围是 .
【解析】假设f(x)=x2+2ax+1存在好点，亦即方程f(x)=x有实数根，所以x2+(2a-1)x+1=0有实数根，则Δ=(2a-1)2-4=4a2-4a-3≥0，
解得a≤-或a≥，故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是-
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.
【证明】假设，，成等差数列，则+=2，
即a+c+2=4b.
又a，b，c成等比数列，所以b2=ac，即b=，
所以a+c+2=4，
所以a-c-2=0，即(-)2=0，
所以=，从而a=b=c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.
原假设错误，故，，不成等差数列.
【拓展延伸】用反证法证明数学命题的步骤
10.(2015·吉安高二检测)已知函数f(x)=x3-x2，x∈R.
(1)若正数m，n满足m·n>1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零.
(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)=f(b)，求证a+b<.
【证明】(1)假设f(m)<0且f(n)<0，
即m3-m2<0，n3-n2<0，
因为m>0，n>0，
所以m-1<0，n-1<0，
所以0
所以假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零.
(2)由f(a)=f(b)得a3-a2=b3-b2，
所以a3-b3=a2-b2，
所以(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)，
因为a≠b，所以a2+ab+b2=a+b，
所以(a+b)2-(a+b)=ab<，
所以(a+b)2-(a+b)<0，
所以a+b<.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·济南高二检测)(1)已知p3+q3=2，求证p+q≤2.用反证法证明时，可假设p+q≥2.
(2)已知a，b∈R，|a|+|b|<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确；(2)的假设错误
D.(1)的假设错误；(2)的假设正确
【解析】选D.(1)的假设应为p+q>2；(2)的假设正确.
2.(2015·衡水高二检测)设a，b，c是正数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.必要性显然，充分性：若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P<0，Q<0，R>0，因为P<0，Q<0，即a+b
【补偿训练】若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
【解析】选B.分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB+∠ADC=π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD，
∠ADC>∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时，才符合题意.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设 .设全体质数为p1，p2，…，pn，令p=p1p2…pn+1.
显然，p不含因数p1，p2，…，pn.故p要么是质数，要么含有 的质因数.这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.
【解析】由反证法的步骤可得.应假设质数只有有限多个，故p要么是质数，要么含有除p1，p2，…，pn之外的质因数.
答案：质数只有有限多个 除p1，p2，…，pn之外
4.(2015·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a+b=1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 (填序号).
【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.
【解析】若a=，b=，则a+b=1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a=b=1，则a+b=2，故②不能推出.若a=-2，b=1，则a2+b2>2，故④不能推出.
对于③，即a+b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·宜昌高二检测)已知函数f(x)=，如果数列{an}满足a1=4，an+1=f(an)，求证：当n≥2时，恒有an<3成立.
【证明】假设an≥3(n≥2)，
则由已知得an+1=f(an)=，
所以当n≥2时，==·
≤=<1(因为an-1≥3-1)，
又易证an>0，所以当n≥2时，an+1
所以当n≥2时，an<3；
这与假设矛盾，故假设不成立，
所以当n≥2时，恒有an<3成立.
【一题多解】由an+1=f(an)得an+1=，
所以=-+=-2+≤，
所以an+1<0或an+1≥2.
(1)若an+1<0，则an+1<0<3，
所以结论“当n≥2时，恒有an<3”成立.
(2)若an+1≥2，则当n≥2时，
有an+1-an=-an
==≤0，
所以an+1≤an，即数列{an}在n≥2时单调递减.
由a2===<3，
可知an≤a2<3，在n≥2时成立.
综上，由(1)、(2)知：当n≥2时，恒有an<3成立.
6.先解答(1)，再通过类比解答(2)：
(1)①求证：tan=；
②用反证法证明：函数f(x)=tanx的最小正周期是π.
(2)设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论.
【解题指南】本题考查的知识点是类比推理，在由正切函数的周期性类比推理抽象函数的周期性时，我们常用的思路是：由正切函数的周期性，类比推理抽象函数的周期性；由正切函数的周期性的证明方法，类比推理抽象函数的周期性的证明方法.
【解析】(1)①tan==.
②假设T是函数f(x)=tanx的一个周期，且0
因为f(x+2a)=f(x+a+a)=
==-，
所以f(x+4a)=f=-
=-=f(x).
【拓展延伸】类比推理中的反证法
(1)类比推理的一般步骤是：①找出两类事物之间的相似性或一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
(2)在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例.
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