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课时提升作业 十二
双曲线及其标准方程
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是 ( )
A.焦点在y轴上的双曲线 B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的椭圆
【解析】选C.方程即+=1,因为θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,且-cosθ>sinθ,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.
【补偿训练】在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是 ( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:-=1,因为mn<0,所以->0,
所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
2.(2016·枣庄高二检测)双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为 ( )
A.22或2 B.7 C.22 D.2
【解析】选A.因为a2=25,所以a=5.
由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.
3.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x≤-3) D.-=1(x≥3)
【解析】选D.由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),点B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由c=5,a=3,知b2=16,
所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).
【误区警示】容易忽视x的取值范围而导致错选A.
4.(2016·泉州高二检测)已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 ( )
A. B. C. D.5
【解析】选C.由题意知,动点P的轨迹是以定点A,B为焦点的双曲线的一支(如图),从图上不难发现,|PA|的最小值是图中AP′的长度,即a+c=.
5.(2016·潍坊高二检测)双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选B.不妨设F1,F2是双曲线的左、右焦点,
P为右支上一点,
|PF1|-|PF2|=2,①
|PF1|+|PF2|=2,②
由①②解得:
|PF1|=+,|PF2|=-,
得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,
所以PF1⊥PF2,
又由①②分别平方后作差得:
|PF1||PF2|=2,
所以=|PF1|·|PF2|=1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为 .
【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,
所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.
所以|PF2|-|PF1|=2a=16,
即|PF2|=16+|PF1|=33.
答案:33
【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.
【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则= .
【解题指南】由正弦定理可将转化为边的比,而△ABC的顶点A,C已知,故边AC长可求,B在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.
【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC中,有===2R,从而==.
答案:
7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是 .
【解析】设双曲线方程为-=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.
答案:x2-=1
8.已知双曲线-=1上一点M的横坐标为5,则点M到左焦点的距离是 .
【解题指南】利用双曲线的定义求解.
【解析】由于双曲线-=1的右焦点为F(5,0),将xM=5代入双曲线方程可得|yM|=,即为点M到右焦点的距离,由双曲线的定义知M到左焦点的距离为+2×3=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.
【解析】椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4),B(-,4),
由点A在双曲线上知,-=1.
解方程组得
所以所求双曲线的方程为-=1.
10.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
【解析】以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-2,0),B(2,0).
由正弦定理,得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC的外接圆半径).
因为2sinA+sinC=2sinB,
所以2a+c=2b,即b-a=,
从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.
由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点),
因为a=,c=2,所以b2=c2-a2=6,
即所求轨迹方程为-=1(x>)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.设F1到直线F2M的距离为d,
不妨设点F1(-3,0),容易计算得出
|MF1|=,
|MF2|-|MF1|=2.
解得|MF2|=.
而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,
由|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,
求得F1到直线F2M的距离d为.
2.(2016·沈阳高二检测)已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大
值是 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【解析】选C.由双曲线的知识可知:C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,
而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.
【补偿训练】(2016·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|= ( )
A. B.2 C. D.2
【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,
即△PF1F2为直角三角形,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,
|+|=
=
==2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·黄冈高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是 .
【解析】由双曲线-=1,得c=4,
所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),
由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,
所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为
AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.
答案:9
4.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是 .
【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由题意得||MF1|-|MF2||=2a,
|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,
又因为||·||=2,
所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,
即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
答案:-y2=1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?
【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1.
(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.
①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.
②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.
③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.
(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1.
(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.
(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
【误区警示】解答本题时容易忽略α=90°的情况.
6.(2016·济南高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,求P到x轴的距离.
【解析】因为||PF1|-|PF2||=2,
所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,
所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,
由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
=2|PF1|·|PF2|cos60°,
得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,
又a=1,b=1,所以c==,
所以|F1F2|=2c=2,
所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,
所以|PF1|·|PF2|=4.
设P到x轴的距离为|y0|,
=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2|·|y0|,
所以×4×=×2|y0|,所以|y0|==.即P点到x轴的距离为.
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