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[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是( )
A．极大值为5，极小值为－27
B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值
D．极小值为－27，无极大值
【解析】 y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令y′＝0，得x＝－1或x＝3.
当－2＜x＜－1时，y′＞0；
当－1＜x＜2时，y′＜0.
所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．
【答案】 C
2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
【解析】 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
【答案】 B
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
【解析】 ∵f(x)＝xex，
∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，
即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，
∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．
同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
【答案】 D
4．(2016·邢台期末)函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是( )
A．a＞1或a≤0 B．a＞1
C．0＜a＜1 D．a＞1或a＜0
【解析】 f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.
【答案】 D
5．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
【解析】 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·临沂高二检测)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
由y′＝0，得x＝0或4.
且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′<0；x∈(0,4)时，y′>0.
∴x＝4时函数取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
【答案】 －19
7．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________. 【导学号：26160089】
【解析】 f′(x)＝＋2bx＋3＝，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．
∴由根与系数的关系知
解得
【答案】 －2 －
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图3－3－7所示，则函数的极小值是________．
图3－3－7
【解析】 由图象可知，
当x<0时，f′(x)<0，
当0
故x＝0时，函数f(x)取到极小值f(0)＝c.
【答案】 c
三、解答题
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
【解】 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
2(1－ln 2＋a)
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．
所以f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
10.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图3－3－8所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a，b，c的值．
图3－3－8
【解】 ∵函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0.
又图象与x轴相切于(0,0)点，且f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∴f′(0)＝0，即0＝3×02＋2a×0＋b，得b＝0.
∴f(x)＝x3＋ax2.
令f(x)＝x3＋ax2＝0，得x＝0或x＝－a，由图象知a<0.
令f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)＝0，
∴当0
∴当x＝－a时，函数有极小值－4.
即3＋a2＝－4，解得a＝－3.
∴a＝－3，b＝0，c＝0.
[能力提升]
1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
【解析】 不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，易判断x0＝－1为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A；
因为f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为f(－x)的极大值点，故排除B；
又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为－f(x)的极大值点，故排除C；
∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点．故D正确．
【答案】 D
2．如图3－3－9所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
图3－3－9
A. B.
C. D.
【解析】 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】 C
3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则极大值与极小值之差为________. 【导学号：26160090】
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴⇒
∴f′(x)＝3x2－6x，
令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
【答案】 4
4．若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
【解】 f(x)＝2x3－6x＋k，
则f′(x)＝6x2－6，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，
可知f(x)在(－1,1)上是减函数，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.
要使函数f(x)只有一个零点，
只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)，
即k＜－4或k＞4.
∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．