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综合质量评估
(第一至第四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.变量y与x之间的回归方程=x+( )
A.表示y与x之间的函数关系
B.表示y与x之间的确定关系
C.反映y与x之间的真实关系
D.反映y与x之间真实关系达到最大限度的吻合
【解析】选D.回归方程是表示y与x具有相关关系，相关关系是一种非确定性关系，而回归方程是由最小二乘法求得的，它反映了y与x之间真实关系达到最大限度的吻合.
2.(2016·上海高二检测)计算机系统、硬件系统、软件系统、CPU、存储器的知识结构图为( )
【解析】选D.由于CPU、存储器属于硬件，故由元素间的从属关系知D正确.
3.(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z+i=3-i，则=( )
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
【解题指南】先解关于z的一元一次方程，再求其共轭复数.
【解析】选C.由z+i=3-i得，z=3-2i，=3+2i.
【补偿训练】(2016·西安高二检测)定义=ad-bc，若复数z满足=-1-i，则z等于( )
A.1+i B.1-i
C.-i D.3-i
【解题指南】利用新定义直接化简=-1-i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案.
【解析】选C.根据定义=-zi-i=-1-i，
则iz=1.所以z===-i.
4.(2016·石家庄高二检测)观察下图，可推断出“x”应该填的数字是( )
A.171 B.183 C.205 D.268
【解析】选B.由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即12+32+42+62=62，22+42+52+82=109，所以“x”处该填的数字是32+52+72+102=183.
5.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
A.b与r的符号相同 B.a与r的符号相同
C.b与r的符号相反 D.a与r的符号相反
【解析】选A.当b>0时，两变量正相关，此时r>0；当b<0时，两变量负相关，此时r<0，所以选A.
6.下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )
A.三角形 B.梯形
C.平行四边形 D.矩形
【解析】选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近.
7.根据二分法原理求解方程x2-2=0得到的程序框图可称为( )
A.工序流程图 B.程序流程图
C.知识结构图 D.组织结构图
【解析】选B.根据二分法原理求解方程x2-2=0的过程既不是工业生产的流程，也不是知识结构或组织结构，所以排除A，C，D.
8.已知数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…则数列的第k项是( )
A.ak+ak+1+…+a2k
B.ak-1+ak+…+a2k-1
C.ak-1+ak+…+a2k
D.ak-1+ak+…+a2k-2
【解析】选D.利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak-1，且第k项中有k项，次数连续，故第k项为ak-1+ak+…+a2k-2.
9.实数系的结构图如图所示，其中1，2，3三个方格中的内容分别为( )
A.有理数、零、整数 B.有理数、整数、零
C.零、有理数、整数 D.整数、有理数、零
【解析】选B.由实数系的包含关系知B正确.
10.(2016·兰州高二检测)已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若====k，则h1+2h2+3h3+4h4=，类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若====k，则H1+2H2+3H3+4H4=( )
A. B.
C. D.
【解题指南】由====k可得ai=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个顶点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱锥的体积可分割为4个已知底面积和高的小棱锥求体积.
【解析】选B.根据三棱锥的体积公式V=Sh，
得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V，
即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=3V，
所以H1+2H2+3H3+4H4=.
11.(2015·安徽高考)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解题指南】利用循环结构逐次计算，直到退出循环，输出结果.
【解析】选B.执行第一次循环体a=，n=2；
此时|a-1.414|=|1.5-1.414|=0.086>0.005；
执行第二次循环体a=，n=3；
此时|a-1.414|=|1.4-1.414|=0.014>0.005；
执行第三次循环体a=，n=4；此时|a-1.414|<0.005，此时不满足判断条件，输出n=4.
【补偿训练】(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )
A.an=2n B.an=2(n-1)
C.an=2n D.an=2n-1
【解题指南】搞清程序的算法功能是解题的关键，解题时按照程序框图的顺序执行求解，特别注意根据判断框中的条件来执行循环体或结束循环.
【解析】选C.
当S=1，i=1时，执行循环体，a1=2，S=2，i=2，
若不满足条件i>N，执行循环体，a2=4，S=4，i=3，
若不满足条件i>N，执行循环体，a3=8，S=8，i=4，
若不满足条件i>N，执行循环体，a4=16，S=16，i=5，
若输入条件N=4，此时满足条件i>N，即输出a4=16，所以an=2n.
12.(2016·济南高二检测)若在曲线f(x，y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)=0的“自公切线”.下列方程：①x2-y2=1；②y=x2-|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=，对应的曲线中存在“自公切线”的有
( )
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
【解析】选B.①x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有“自公切线”.
②y=x2-|x|=在x=和x=-处的切线都是y=-，故②有“自公切线”.
③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)，cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点或最低点的切线都重合，故③有“自公切线”.
④由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有“自公切线”.
【拓展延伸】演绎推理的主要出题模式
一般是给出一个一般原理，然后应用这一原理，如本题主要先理解什么叫“自公切线”，然后分别判断所给方程对应的曲线是否满足这一原理，进而选择出正确的结论.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(a2+2a-3)+(a+3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是________.
【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a+3)i为纯虚数，
所以
解得a=1.
答案：1
14.(2016·长沙高二检测)已知一个回归方程为=1.5x+4.5，x∈{1，5，7，13，19}，则=__________.
【解析】=9，所以=1.5×9+4.5=18.
答案：18
15.若t∈R，t≠-1，t≠0，复数z=+i的模的取值范围是__________.
【解析】|z|2=+≥2··=2.
当且仅当t=-时取等号，
所以|z|≥.
答案：[，+∞)
16.(2016·泰安高二检测)若集合A1，A2，…，An满足A1∪A2∪…∪An=A，则称A1，A2，…，An为集合A的一种拆分.已知：
①当A1∪A2={a1，a2，a3}时，有33种拆分；
②当A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}时，有74种拆分；
③当A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}时，有155种拆分；
……
由以上结论，推测出一般结论：
当A1∪A2∪…∪An={a1，a2，a3，…，an+1}时，有__________种拆分.
【解析】因为当有两个集合时，33=(4-1)2+1=(22-1)2+1；
当有三个集合时，74=(8-1)3+1=(23-1)3+1；当有四个集合时，155=(16-1)4+1=(24-1)4+1；由此可以归纳当有n个集合时，有(2n-1)n+1种拆分.
答案：(2n-1)n+1
【补偿训练】已知=2·，=3·，=4·，….
若=8·(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t=__________.
【解析】因为=2·，
=3·，=4·，
由类比推理得：=5·，
=6·，=7·，
=8·，
所以a=8，t=63，
所以a+t=71.
答案：71
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z=，
ω=z+ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围.
【解析】z=
====1-i.
因为ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i，
所以=
==.
所以=≤，
所以a2-2a-2≤0，
所以1-≤a≤1+.
故a的取值范围是.
18.(12分)小流域综合治理可以有3个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施.其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热.试画出小流域综合治理开发模式的结构图.
【解析】根据题意，3个措施为结构图的第一层，每个措施中具体的实现方式为结构图的第二层，每个措施实施所要达到的治理功能为结构图的第三层，各类功能所体现的具体内容为结构图的第四层.小流域综合治理开发模式的结构图如图所示.
19.(12分)某商品在销售过程中投入的销售时间x与销售额y的统计数据如下表：
销售时间x(月)
1
2
3
4
5
销售额y(万元)
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
用线性回归分析的方法预测该商品6月份的销售额.
【解析】由已知数据可得==3，
==0.5，
所以(xi-)(yi-)=(-2)×(-0.1)+(-1)×0+0×0.1+1×0.1+2×(-0.1)=0.1，
(xi-)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10，于是=0.01，=-=0.47.故=0.01x+0.47.令x=6，得=0.53.
即该商品6月份的销售额约为0.53万元.
20.(12分)为研究大气污染与人的呼吸系统疾病是否有关，对重污染地区和轻污染地区作跟踪调查，得出如下数据：
患呼吸系
统疾病
未患呼吸
系统疾病
总计
重污染地区
103
1 397
1 500
轻污染地区
13
1 487
1 500
总计
116
2 884
3 000
能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为大气污染与人的呼吸系统疾病有关？
【解析】假设H0：大气污染与人的呼吸系统疾病无关.
由公式得
k=≈72.636.
因为72.636>10.828，所以拒绝H0，
即我们在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为大气污染与人的呼吸系统疾病有关.
21.(12分)已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a
需证明<，
需证明a+b+2
需证明(a-c)(b-c)<0，
因为a-c<0，需证明b-c>0，
而b-c>0显然成立，所以+<+成立.
22.(12分)(2016·烟台高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0，a1=，且-，，成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列{bn}满足bn·log3(1-Sn+1)=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=的正整数n的值.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q，由-，，成等差数列，得-3+=，
解得q=或q=-1(舍)，所以an=2×.
(2)因为Sn+1==1-，
得log3(1-Sn+1)=log3=-n-1，
所以bn=-，
bnbn+1==-，
b1b2+b2b3+…+bnbn+1=-+-+…+-=-，
由题意得-=，解得n=100.
【补偿训练】先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan=.
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x+a)=，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论.
【解析】(1)根据两角和的正切公式得tan===，
即tan=，命题得证.
(2)f(x)是以4a为周期的周期函数.证明如下：
因为f(x+2a)=f((x+a)+a)===-，
所以f(x+4a)=f((x+2a)+2a)
=-=f(x).
所以f(x)是以4a为周期的周期函数.
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