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课时提升作业 一
回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.下列四个命题中正确的是( )
①在线性回归模型中，e是x+预报真实值y的随机误差，它是一个观测的量；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用R2来刻画回归方程，R2越小，拟合的效果越好；④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
【解析】选B.e是预报变量y的随机误差，故①不正确；R2越接近1，拟合的效果越好，故③不正确.
2.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两个变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi-)2如表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差
平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选D.根据线性相关的知识，散点图中各样本点带状分布越均匀，同时保持残差平方和越小，回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好.由试验结果知，丁拟合效果较好些.
3.关于残差的叙述正确的是( )
A.残差就是随机误差
B.残差就是方差
C.残差都是正数
D.残差可以用来判断模型拟合的效果
【解析】选D.根据残差的意义及作用知，D正确.
4.(2016·大连高二检测)在一次试验中，测得(x，y)的4组值分别为A(1，2)，B(2，3)，C(3，4)，D(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为( )
A. =x+1 B. =x+2
C. =2x+1 D. =x-1
【解析】选A.由已知条件可知=，=，而回归直线必经过样本点的中心，故选项A符合题意.
5.(2016·济南高二检测)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心(，)
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
【解题指南】根据线性相关、回归直线、样本点的中心等相关概念判断.
【解析】选D.
选项
具体分析
结论
A
x的系数大于零，正相关
正确
B
由回归直线方程的计算公式=-可知直线l必过点(，)
正确
C
由一次函数的单调性知，x每增加1cm，体重平均增加0.85kg，是估计变量
正确
D
体重应约为58.79kg，估计变量
不正确
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.对于回归方程=257+4.75x，当x=28时，y的估计值是________.
【解析】当x=28时，=257+4.75×28=390，
所以y的估计值为390.
答案：390
7.若对于变量y与x的10组数据的回归模型中，R2=0.95，又知残差平方和为120.53.那么(yi-)2=________.
【解析】由公式R2=1-
得0.95=1-得(yi-)2=2410.6.
答案：2410.6
8.面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：
=，=71，=79，xiyi=1481.
则销量每增加1000箱，单位成本下降________元.
【解析】由题意知=≈-1.8182，
=71-(-1.8182)×≈77.36，=-1.8182x+77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.8182元.
答案：1.8182
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2016·武汉高二检测)某公司有6名推销员，其工作年限与年推销金额数据如下：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x(年)
3
5
6
7
9
年推销金额y(万元)
2
3
3
4
5
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程.
(2)若第6名推销员工作年限为11年，试估计他的年推销金额.
【解析】(1)设所求的回归方程为=x+，
则===0.5，
=-=0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.
(2)当x=11时，=0.5×11+0.4=5.9(万元)，
所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.
10.已知某校在一次考试中，5名学生的数学和地理成绩如表：
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
地理成绩y
70
66
68
64
62
(1)根据上表，利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+(其中=0.36).
(2)利用(1)中的线性回归方程，试估计数学90分的同学的地理成绩(四舍五入到整数).
(3)若从5人中选2人参加数学竞赛，其中1、2号不同时参加的概率是多少？
【解析】(1)=(80+75+70+65+60)=70，
=(70+66+68+64+62)=66，
=0.36，所以=-=40.8，
所以y关于x的线性回归方程为=0.36x+40.8.
(2)若x=90，则y=0.36×90+40.8≈73，
即数学90分的同学的地理成绩估计为73分.
(3)五人中选两人的不同选法有(1，2)，(1，3)，(1，4)， (1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种不同选法.其中1，2号不同时参加的有9种，
所以1，2号不同时参加的概率P=.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·石家庄高二检测)为了研究两个变量x和y之间的线性相关关系，甲、乙两位同学分别独立做了100次和150次试验，并且利用最小二乘法求得回归直线分别为l1，l2.已知两人在试验中发现变量x的观察数据的平均值都是s，变量y的观察数据的平均值都是t.下列说法中正确的是( )
A. l1和l2有交点(s，t)
B. l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)
C. l1与l2必平行
D. l1与l2必重合
【解析】选A.由题意知，(s，t)是甲、乙两位同学所做试验的样本点的中心，而回归直线恒过样本点的中心，故A正确.
2.在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y=2x B.y=log2x
C.y=(x2-1) D.y=2.61cosx
【解析】选B.作散点图，从图中观察可知，应为对数函数模型.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2016·福州高二检测)某人收集统计近几年来春节期间的平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据(如表)：
平均气温(℃)
-2
-3
-5
-6
销售额(万元)
20
23
27
30
根据上述数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程为=x+中系数=-2.4，预测平均气温为-8℃时，该商品的销售额大约为________万元.
【解析】=-4，=25，即这组数据的样本点的中心为(-4，25)，将=-2.4代入回归直线方程且回归直线过样本点中心得=15.4.故回归直线方程为=-2.4x+15.4.当x=-8时，=-2.4×(-8)+15.4=34.6.
答案：34.6
4.对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为________.
【解析】由题意知=2，=3，=6.5，所以=-=3-6.5×2=-10，即回归直线的方程为=-10+2x.
答案：=-10+2x
三、解答题
5.(10分)(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi-
)2
(wi-
)2
(xi-
)(yi-)
(wi-
)(yi-)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi=，=wi.
(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=-.
【解析】(1)由散点图的变化趋势可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w=，先建立y关于w的线性回归方程.
由于===68，
=-=563-68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68.
(3)①由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，
年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.
所以当==6.8，即x=46.24时，取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
【补偿训练】(2016·济宁高二检测)假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，现测得5组数据如下：
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
(1)以x为解释变量，y为预报变量作出散点图.
(2)求y与x之间的回归方程，对基本苗数56.7预报有效穗.
(3)计算各组残差，并计算残差平方和.
(4)求R2，说明回归模型的拟合效果.
【解析】(1)散点图如图所示：
(2)由(1)中的图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.
设回归方程为=x+，=30.36，=43.5，
=5101.56，
=1320.66，2=921.7296，
xiyi=6746.76.
由=≈0.29，=-≈34.70，
故所求的回归直线方程为=34.70+0.29x.
当x=56.7时，=34.70+0.29×56.7=51.143.
估计成熟期有效穗为51.143.
(3)由于=xi+，可以算得=yi-，分别为=0.35，=0.718，=-0.5，
=-2.214，=1.624，
残差平方和：≈8.43.
(4)(yi-)2=50.18，
故R2=1-≈0.832.
故回归模型拟合效果较好.
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