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课时提升作业(三)
四种命题间的相互关系
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2015·杭州高二检测)命题“若m=10，则m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是 ( )
A.原命题、否命题 B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题 D.逆命题、否命题
【解析】选C.因为原命题为真，所以逆否命题为真.
2.(2015·太原高二检测)下列结论错误的是 ( )
A.命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题
B.对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有
C.命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真
D.“若am2
①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题；
④“若x-3是无理数，则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④ B.①③④
C.②③④ D.①④
【解析】选B.①中否命题为“若x2+y2=0，则x=y=0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ=1+4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确，故逆否命题正确.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.命题“若x≠1，则x2-1≠0”的真假性为________.
【解题指南】可转化为判断命题的逆否命题的真假.
【解析】由于原命题的逆否命题是：“若x2-1=0，则x=1”，为假命题，因此原命题是假命题.
答案：假命题
5.命题“若m>n，n>k，则m>k”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________.
【解析】原命题是真命题；它的逆命题为“若m>k，则m>n，n>k”，是假命题；否命题为“若m≤n，或n≤k，则m≤k”，是假命题；逆否命题为“若m≤k，则m≤n，或n≤k”，是真命题.
答案：2
【补偿训练】命题“若x=1，则x2-3x+2=0”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是________.
【解析】原命题“若x=1，则x2-3x+2=0”是真命题，它的逆否命题是真命题，它的逆命题“若x2-3x+2=0，则x=1”是假命题，它的否命题也是假命题.
答案：2
三、解答题
6.(10分)已知a，b∈R且a2-4b>0.写出命题“若a+b+1<0，则方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1
(1)令f(x)=x2+ax+b.
因为f(1)=a+b+1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，
所以x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1
(2)因为方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1
所以a+b+1<0，故逆命题为真命题.
由四种命题的关系可知，原命题、逆否命题、否命题和逆命题都是真命题.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·烟台高二检测)与命题“若x=3，则x2-2x-3=0”等价的命题是 ( )
A.若x≠3，则x2-2x-3≠0
B.若x=3，则x2-2x-3≠0
C.若x2-2x-3≠0，则x≠3
D.若x2-2x-3≠0，则x=3
【解题指南】只需找其逆否命题即可.
【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题：若x2-2x-3≠0，则x≠3.
2.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题，我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题：①函数y=x2(x∈R)是偶函数；②若两条直线相交，则它们的倾斜角一定不相等；③若α⊥γ，β⊥γ，则
α∥β；④若a·c=b·c，则a=b；⑤若m+n≤2，则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是 ( )
A.①⑤ B.②③ C.③④ D.②④
【解析】选A.①中命题是真命题，其逆命题为“若一个函数是偶函数，则这个函数是y=x2，是假命题，故它是“正向真命题”；②中命题是真命题，其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等，则它们一定相交”，也是真命题，所以②中命题不是“正向真命题”；③、④中命题都是假命题，所以它们都不是“正向真命题”；⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1，则m+n>2”是真命题，而它的否命题是“若m+n>2，则n>1且m>1”，显然不是真命题，所以这个命题是“正向真命题”.综上，是“正向真命题”的序号是①⑤.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·石家庄高二检测)设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题为____________命题，逆命题为__________命题.(填“真”或“假”).
【解析】逆否命题为：a，b都小于1，则a+b<2是真命题，
所以原命题是真命题，逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，例如a=3，b=-3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故逆命题是假命题.
答案：真 假
【补偿训练】设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，在下列几个条件中，能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的有________.
①x为直线，y，z是平面；②x，y，z均为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z均为直线.
【解析】①x为直线，y，z是平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，是真命题；②x，y，z均为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能相交，为假命题；③x，y为直线，z为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；④x，y为平面，z为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；⑤x，y，z均为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能平行、相交或异面，为假命题.
答案：①③④
4.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四边条边相等，则它是正方形.
其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有________.
【解析】命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆的内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系判断.
答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
三、解答题
5.(10分)(2015·北京高二检测)a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由.
【解题指南】分别考虑命题A和命题B的逆否命题，把命题A和命题B作为真命题分析，得出结论.
【解析】能确定.理由如下：
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑.
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即 “若a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小.
【拓展延伸】感悟等价命题与反证法
本题实质是利用了“两个命题互为逆否命题，它们有相同的等价性”来解题的，即逆否证法.逆否证法实质是利用了命题的等价性，与反证法不同，反证法是通过否定命题的结论，引出矛盾，来肯定命题的.
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