课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．下列类比推理恰当的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
答案：D
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋＝2×9.
3．观察式子：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，…，
则可归纳出第n－1个式子为( )
A．1＋＋＋…＋<
B．1＋＋＋…＋<
C．1＋＋＋…＋<
D．1＋＋＋…＋<
解析：选C 观察可得第n－1个式子为：
不等式的左边为的前n项的和，
右边为分式.
4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，
则a1＝1，a2＝3＝1＋2，
a3＝6＝1＋2＋3，
a4＝10＝1＋2＋3＋4，
可得通项公式为
an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.
5．将正整数排成下表：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
… …
则在表中数字2 013出现在( )
A．第44行第78列
B．第45行第78列
C．第44行第77列
D．第45行第77列
解析：选D 第n行有2n－1个数字，
前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
∵442＝1 936,452＝2 025，
且1 936＜2 013＜2 025，
∴2 013在第45行．
又2 025－2 013＝12，
且第45行有2×45－1＝89个数字，
∴2 013在第89－12＝77列．
二、填空题
6．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________________________.
解析：由已知可归纳如下：
f1(x)＝，
f2(x)＝，
f3(x)＝，
f4(x)＝，
…，
fn(x)＝.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示_________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
8．观察下列等式：
23＝3＋5，
33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
53＝21＋23＋25＋27＋29，…，
若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．
解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由3＋(n－1)×2＝109得n＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，
可得2＋3＋4＋…＋m＝54，
即＝54，解得m＝10.
答案：10
三、解答题
9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9 900，an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，
所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.
(3)a10＝11×12＝132.
a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，
所以n＝98，
即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
10．已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：
已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，
点P是双曲线上任意一点，
若直线PM，PN的斜率都存在，
并记为kPM，kPN，
那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，
则N点的坐标为(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，
∴－＝1，得n2＝m2－b2.
同理y2＝x2－b2.
∴y2－n2＝(x2－m2)．
则kPM·kPN＝·＝
＝·＝(定值)．
∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．