高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评11 Word版含答案

学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的(　　)
A．至少有一条　 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
【解析】　过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，
这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.
【答案】　B
2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【解析】　条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，
又a与α无公共点，故选C.
【答案】　C
3．下列命题中不正确的是(　　)
A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线
【解析】　选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.
【答案】　A
4．如图2­2­21，四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　)
图2­2­21
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
【解析】　∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，
∴MN∥PA.
【答案】　B
5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C(　　)
【导学号：09960067】
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
【解析】　无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．
【答案】　D
二、填空题
6．(2016·芜湖高一检测)如图2­2­22，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
图2­2­22
【解析】　因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，
平面AB1C∩平面ABCD＝AC，
所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，
所以点F是CD的中点，所以EF＝AC＝.
【答案】　
7．如图2­2­23所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.
图2­2­23
【解析】　EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.
又＝，∴EF＝＝＝.
【答案】　
三、解答题
8．如图2­2­24，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
【导学号：09960068】
图2­2­24
【证明】　因为平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，
所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN＝C1M＝A1C1＝AC，
所以N为AC的中点．
9．如图2­2­25，平面EFGH分别平行于CD，AB，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.
(1)求证：EFGH是矩形．
(2)设DE＝m，EB＝n，求矩形EFGH的面积．
图2­2­25
【解】　(1)证明：因为CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，
所以CD∥EF.同理HG∥CD，
所以EF∥HG.
同理HE∥GF，所以四边形EFGH是平行四边形．
由CD∥EF，HE∥AB，所以∠HEF为CD和AB所成的角．
又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF.
所以四边形EFGH是矩形．
(2)由(1)可知在△BCD中，EF∥CD，DE＝m，EB＝n，
所以＝.又CD＝a，所以EF＝a.
由HE∥AB，所以＝.
又因为AB＝b，所以HE＝b.
又因为四边形EFGH为矩形，
所以S矩形EFGH＝HE·EF＝b·a＝ab.
[自我挑战]
10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是(　　)
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
【解析】　对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.
图(1)　　　　　　　图(2)　　　　　　图(3)
【答案】　C
11．如图2­2­26，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.
【导学号：09960069】
图2­2­26
【解】　如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，
所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.