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课时提升作业 二
四 种 命 题
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·泉州高二检测)已知命题p:垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α,q是p的否命题,下面结论正确的是 ( )
A.p真,q真 B.p假,q假
C.p真,q假 D.p假,q真
【解析】选D.当平面α内的直线相互平行时,l不一定垂直于平面α.故p为假命题.
易知p的否命题q:若直线l不垂直于平面α内无数条直线,则l不垂直于平面α.易知q为真命题.
2.命题“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是 ( )
A.若A∪B≠A,则A⊇B
B.若A∩B≠A,则A⊆B
C.若A⊄B,则A∩B≠A
D.若A⊇B,则A∩B≠A
【解析】选C.命题:“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是:若A⊄B,则A∩B≠A.故C正确.
3.(2016·宝鸡高二检测)有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题;
其中真命题为 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
【解析】选C.①逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;②的否命题为“不全等的三角形面积不等”为假命题;③当q≤1时,Δ=4-4q≥0,方程有实根,为真命题,故逆否命题为真命题;④逆命题为“若三角形三内角相等,则三角形是不等边三角形”为假命题.
【补偿训练】下列有关命题的说法正确的是 ( )
A.“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题
B.“若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题
C.“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题
D.命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0
【解析】选C.A中,2x≤1时,x≤0,从而否命题“若x≤1,则2x≤1”为假命题,故A不正确;B中,sinβ=0时,cosβ=±1,则逆命题为假命题,故B不正确;D中,由已知条件得a的取值范围为[1,+∞),故D不正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.“已知a∈U(U为全集),若a∉A,则a∈A”的逆命题是 ,它是
(填“真”或“假”)命题.
【解析】“已知a∈U(U为全集)”是大前提,条件是“a∉A”,结论是“a∈A”,所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a∉A”.它为真命题.
答案:已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a∉A 真
【误区警示】改写逆命题时,易漏大前提
5.命题p:“若=b,则a,b,c成等比数列”,则命题p的否命题是 (填“真”或“假”)命题.
【解析】命题p的否命题是“若≠b,则a,b,c不成等比数列”,是假命题,如a=c=1,b=-1满足≠b,但a,b,c成等比数列.
答案:假
三、解答题
6.(10分)(教材P6练习1改编)写出命题“末位数字是偶数的整数能被2整除”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假.
【解析】因为原命题是:“若一个整数的末位数字是偶数,则它能被2整除”.
所以逆命题:若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数,真命题.
否命题:若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除,真命题.
逆否命题:若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶数,真命题.
【补偿训练】已知命题p:“若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.
(1)写出命题p的否命题.
(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.
【解题指南】(1)根据命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”即可写出命题p的否命题.(2)根据二次方程有实根的条件,即可判断命题的真假.
【解析】(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”.
(2)命题p的否命题是真命题.
证明:因为ac<0⇒-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根,所以该命题是真命题.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.命题“若x≠3且x≠2,则x2-5x+6≠0”的否命题是 ( )
A.若x=3且x=2,则x2-5x+6=0
B.若x≠3且x≠2,则x2-5x+6=0
C.若x=3或x=2,则x2-5x+6=0
D.若x=3或x=2,则x2-5x+6≠0
【解题指南】“若x≠3且x≠2”是同时不成立的意思,否定时要改成不同时不成立,即至少一个成立.
【解析】选C.命题的否命题需将条件和结论分别否定,x≠3且x≠2的否定是x=3或x=2,因此该命题的否命题为“若x=3或x=2,则x2-5x+6=0”.
【补偿训练】命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是 ( )
A.若a>b,则a-1≤b-1
B.若a≥b,则a-1
D.若a
2.(2016·郴州高二检测)“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
【解析】选B.逆命题是“若x=2,则x2-3x+2=0”,为真命题;否命题是“若x2-3x+2≠0,则x≠2”为真命题;逆否命题是“若x≠2,则x2-3x+2≠0”,因为x=1时,x2-3x+2=0,所以为假命题;所以真命题的个数为2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.“若a>b,则2a>2b”的逆否命题为 .
【解析】原命题:“若p,则q”的逆否命题为:“若q,则p”.所以“若a>b,则2a>2b”的逆否命题为“若2a≤2b,则a≤b”.
答案:若2a≤2b,则a≤b
4.命题“若实数a满足a≤3,则a2<9”的否命题是 (填“真”或“假”)命题.
【解析】命题“若实数a满足a≤3,则a2<9”的否命题是“若实数a满足a>3,则a2≥9”,命题是真命题.
答案:真
三、解答题
5.(10分)(2016·合肥高二检测)设M是一个命题,它的结论是q:x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,M的逆否命题的结论是p:x1+x2≠-2或x1x2≠-3.
(1)写出M.
(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题.
【解题指南】把逆否命题的结论否定即可得到原命题的条件.
【解析】(1)设命题M表述为:若p,则q,那么由题意知其中的结论q为:x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.而条件p的否定形式p为:x1+x2≠-2或x1x2≠-3,故p的否定形式即p为:x1+x2=-2且x1x2=-3.所以命题M为:若x1+x2=-2且x1x2=-3,则x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.
(2)M的逆命题为:若x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2=-2且x1x2=-3.
逆否命题为:若x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2≠-2或x1x2≠-3.
否命题为:若x1+x2≠-2或x1x2≠-3,则x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根.
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