高中数学选修2-2自我小测 数学归纳法 Word版含解析

自我小测
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
2．用数学归纳法证明“凸n(n≥3，n∈N)边形的内角和公式”时，由n＝k到n＝k＋1时增加的是(　　)
A． B．π C． D．2π
3．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋＜1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是(　　)
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)
A．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确
B．假设n≤k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确
C．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确
D．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确
5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
6．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*且n＞1)时，假设当n＝k时不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________．
8．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．
9．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
10．用数学归纳法证明对一切n∈N*,1＋＋＋…＋≥.
参考答案
1．B
2．解析：如图，由n＝k到n＝k＋1时，凸n边形的内角和增加的是：∠1＋∠2＋∠3＝π，故选B．
答案：B
3．解析：不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．
答案：C
4．解析：因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤知，第二步应先假设第k(k∈N*)个正奇数成立，本题即假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1时正确．
答案：D
5．解析：对于A项，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A项错误．
对于B项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B项错误．
对于C项，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C项错误．
对于D项，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D项．
答案：D
6．1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜k＋1
7．解析：∵当n＝k时，左边＝(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(k＋k)，
当n＝k＋1时，左边＝(1＋1)(2＋2)(3＋3)＋…＋(k＋k)(k＋1＋k＋1)，
比较两式可知，由n＝k到n＝k＋1，左边需添加的因式为(2k＋2)．
答案：2k＋2
8．解析：采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k来，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
9．(1)解：a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．
(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．
②假设当n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N*)，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2
＝5＋＝5×2k－1.
故n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2，
所以数列{an}的通项an＝
10．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋≥，
则当n＝k＋1时，要证1＋＋＋…＋＋≥，
只需证＋≥.
因为－
＝－
＝
＝≤0，
所以＋≥，
即1＋＋＋…＋＋≥，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立．