高中数学必修4课时达标检测（十九）平面向量基本定理 Word版含解析

课时达标检测（十九）平面向量基本定理
一、选择题
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
①λe1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②　　　　　　 　B．②③
C．③④ D．②
答案：B
2．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是(　　)
A．e1，e1＋e2
B．e1－2e2，e2－2e1
C．e1－2e2,4e2－2e1
D．e1＋e2，e1－e2
答案：C
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
答案：A
4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
答案：B
5．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR―→等于(　　)
A．a－b
B．2(b－a)
C．2(a－b)
D．b－a
答案：B
二、填空题
6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
答案：90°
7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案：
8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
答案：a－b
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得⇒
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴⇒
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴⇒
故所求λ，μ的值分别为3和1.
10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
解：∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F分别是DC、AB的中点，
∴＝＝a，＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
11.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，
||＝2，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.
在Rt△OCD中，
∵||＝2，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.