第三章 空间向量与立体几何(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋cD．－a＋b－c
3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
4．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于( )
A．－B.C.D．－
6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60° B．90° C．105° D．75°
7．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
A．cos θ＝B．cos θ＝
C．sin θ＝ D．sin θ＝
8．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．不等边的锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥βB．α⊥β
C．α，β相交但不垂直D．以上均不正确
10．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于( )
A．19 B．－ C.D.
11.
如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为( )
A.B.
C. D.
12.
如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A. B.
C.D．2
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.
14．如图所示，
已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
16.
如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.
18．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
19.(12分)
如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？
20．(12分)
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求证：C1C⊥BD.
21.(12分)
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
22．(12分)
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．
第三章 空间向量与立体几何(A)
1．C [只有命题④正确．]
2.
D [如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.]
3．D [∵a∥b，∴存在实数λ，
使，∴.]
4．C [设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，
又|a|＝，a⊥，a⊥，
∴∴或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]
5．C [∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴sin〈，〉＝.]
6．B [
建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1，C1(0，，0)，
B.
∴＝，＝，
∴·＝－－1＝0，
即AB1与C1B所成角的大小为90°.]
7．D [若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝，∴sin θ＝|cos β|＝.]
8．A [＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)，·>0，得∠A为锐角；·>0，得∠C为锐角；·>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且||＝，||＝，||＝.]
9．A [∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]
10．C [＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝.
故当x＝时，||取最小值．]
11．C [如图所示，
作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，
可以求得BD＝，
ED＝.∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，
即二面角B—AP—C的余弦值为.]
12．B [
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)．
＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
则 即
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝＝＝.]
13.
解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝＝.
14.
解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，
则·＝(＋)·(＋)
＝0＋·＋·＋0
＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，
BF＝DE＝＝，
所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：
cos θ＝＝.
15.或
解析 设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，
则cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴〈n1，n2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或.
16.
解析 因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.
所以||＝，
即AD的长为.
17．证明 以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．
设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，
则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，＝(a，b，d)，
＝(c－a，－b，d)，＝(－c,0，d)，
由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，
·＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.
再由两点间距离公式可得：
|AB1|2＝a2＋b2＋d2，|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，
∴AB1＝CA1.
18．证明 因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，
所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形．
19．解 ∵M、N分别是AC、BF的中点，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋
＝－＋－－，
∴＝＋2＋
＝2(＋＋)＝2.
∴∥，即与共线．
20．证明 设＝a，＝b，＝c，
依题意，|a|＝|b|，
又设，，中两两所成夹角为θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
所以C1C⊥BD.
21．解 因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝
＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
22．(1)解
如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，
A1(0,0,4)，E.
易得＝，
＝(0,2，－4)，
于是cos〈，〉＝＝－.
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)证明 易知＝(1,2,1)，
＝，＝，
于是·＝0，·＝0.
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，
则即
不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，
由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，
于是cos〈u，〉＝＝，
从而sin〈u，〉＝.
所以二面角A1—ED—F的正弦值为.