第15课时 简谐运动、由图象求解析式
课时目标
了解函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)与简谐运动的关系，了解振幅、周期、频率、相位、初相的含义．解根据y＝Asin(ωx＋φ)图象求出其解析式．
识记强化
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T＝，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝，它叫做振动的频率；ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相(即当x＝0时的相位)．
课时作业
一、选择题
1．最大值为，周期为，初相为的函数表达式可能是( )
A．y＝sin
B．y＝2sin
C．y＝sin
D．y＝2sin
答案：C
2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B. T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
答案：A
解析：依题意，得2sinφ＝1，sinφ＝.
又|φ|<，初相φ>0，故φ＝.
又T＝＝6，故T＝6，φ＝.
3．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A. B．1
C. D．2
答案：D
解析：将函数f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为
f(x)＝sinω＝sin.又因为函数图象过点所以sin＝sin＝0，所以＝kπ，
即ω＝2k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2.
4．下列函数中，图象的一部分如图所示，则该函数解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
答案：D
解析：由图可知＝＋，∴T＝4×＝π，∴ω＝2.
由“五点法”作图知2×＋φ＝0，∴φ＝.
∴解析式为y＝sin＝cos，故选D.
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A＞0，ω＞0)的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各解析式中符合条件的是( )
A．y＝4sin＋2
B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2
D．y＝2sin＋2
答案：D
解析：最大值为4，最小值为0.所以A＝＝2，又T＝＝，所以ω＝4.又由4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)得φ＝kπ－(k∈Z)．当k＝1时，φ＝.所以所求解析式可能为y＝2sin＋2.
6．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1,3]，则其函数式的最简形式为( )
A．y＝2sin＋1
B．y＝2sin－1
C．y＝－2sin－1
D．y＝2sin＋1
答案：A
解析：由T＝知：ω＝3，初相为，∴φ＝，值域[－1,3]，∴最简形式为y＝2sin＋1.
二、填空题
7．函数y＝3sin，x∈R的振幅是________，周期是________，频率是________，相位是________，初相是________．
答案：3
解析： 4x－ －频率和周期互为倒数关系．
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________.
答案：
解析：由图，知＝－＝，∴T＝.又T＝＝，∴ω＝.
9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图，则函数的解析式是________．
答案：y＝2sin
三、解答题
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)在同一周期内，x＝时取得最大值，x＝π时取得最小值－，求该函数解析式．
解：由已知得A＝，＝，∴T＝，则ω＝3.
把代入y＝sin(3x＋φ)，得sin＝1.
∵0<φ<π，∴＋φ＝，φ＝.
因此，函数的解析式为y＝sin.
11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－<φ<上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在上的图象．
解：(1)由题意，知A＝，T＝4×＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又φ∈，
∴φ＝，∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
0
－
0
描点、连线，得题中函数在上的图象如图所示：
能力提升
12．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，且f＝－，则f(0)＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：B
解析：由图象可得函数的最小正周期为，
于是f(0)＝f.又从图象可知.与关于对称，所以f＝－f＝.
13．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式；
(3)求函数g(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．
解：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.
将点(－1,0)代入，得0＝2sin.
∵|φ|<，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，
∴g(x)＝2sin＝2sin.
(3)由(2)，知g(x)的最小正周期为＝8，
频率为，振幅为2，初相为－.