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课时提升作业 一
命 题
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·石家庄高二检测)下列语句中是命题的是 ( )
A.周期函数的和是周期函数吗
B.sin 45°=1
C.x2+2x-1>0
D.梯形是不是平面图形呢
【解析】选B.A不是,因为它是一个疑问句,不能判断其真假,故不构成命题;B是,因为能够判断真假,故是命题;C不是,因为不能判断其真假,故不构成命题;D不是,不能判定真假且不是陈述句,故不构成命题.
2.下列语句中命题的个数是 ( )
①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选D.①③④是命题;②不能判断真假,不是命题.
3.(2016·湛江高二检测)下列命题中是假命题的是 ( )
A.若a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ac2>bc2,则a>b
D.5>3
【解析】选B.|a|=|b|只能说明a与b长度一样.a=b不一定成立.
【误区警示】选项A易忽视括号中条件的作用,错认为是假命题,而选项B易忽视向量的方向,错认为是真命题.
4.下列说法正确的是 ( )
A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C.“四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
【解析】选D.当a>4时,方程x2-4x+a=0的判别式Δ<0,方程无实根.
5.(2016·安阳高二检测)下列命题是真命题的是 ( )
A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0)
C.已知点A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,则直线x0x+y0y-1=0与圆C相交
D.圆柱的俯视图可能为矩形
【解析】选D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱,不满足棱柱的定义,所以A不正确;过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0),直线的斜率不存在时,无法表示出来,所以B不正确;因为A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,所以+<1,所以圆心(0,0)到直线x0x+y0y=1的距离:d=>1,所以直线x0x+y0y=1与圆相离.所以C不正确.
圆柱的俯视图可能为矩形,当圆柱放倒时,满足题意,所以D正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.给出下列命题:
①若ac=bc,则a=b;
②方程x2-x+1=0有两个实根;
③对于实数x,若x-2=0,则x-2≤0;
④若p>0,则p2>p;
⑤正方形不是菱形.
其中真命题是 ,假命题是 .
【解析】①c=0时,a不一定等于b,假命题.
②此方程无实根,假命题.
③结论成立,真命题.
④0
答案:③ ①②④⑤
7.把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是 .
【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是这个函数是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.
答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数
【延伸探究】判断本题中命题的真假.
【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.
8.给出下列命题:
①在△ABC中,若∠A>∠B,则sinA>sinB;
②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数;
③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点;
④若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,则得到函数y=sin的图象.
其中真命题的序号是 .
【解析】①∠A>∠B⇒a>b⇒sinA>sinB,①为真命题,②③易知正确.④将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.
答案:①②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(教材P4练习T3改编)把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假:
(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.
(2)二次函数的图象关于y轴对称.
【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角.
或:若一条线段是一个等腰三角形的底边上的中线,则这条线段垂直于底边且平分顶角,真命题.
(2)若一个函数是二次函数,则它的图象关于y轴对称,假命题.
10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)ac>bc⇒a>b.
(2)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.
(3)当m>时,mx2-x+1=0无实根.
(4)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.
【解析】(1)若ac>bc,则a>b,是假命题.
(2)已知x,y∈N*,若y=x+1,则y=3,x=2,是假命题.
(3)若m>,则mx2-x+1=0无实根,是真命题.
(4)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.下列命题正确的是 ( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【解题指南】利用空间中线面位置关系的有关定理逐一判断.
【解析】选C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交,选项A错;
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B不正确;
如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c⊂α,d⊄α,所以d∥α,
又因为d⊂β,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;
若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.
2.(2016·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为 ( )
①函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;②若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;③若△ABC为锐角三角形,则sinA
【解题指南】由f(x)+f(-x)=2判断①;数形结合判断③;利用三角函数的单调性判断④.
【解析】选B.对于①,f(x)+f(-x)=2x3-3x+1-2x3+3x+1=2,则函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称,即①正确;
对于②,若实数x,y满足x2+y2=1,如图,可看作过点(-2,0)与圆x2+y2=1上点的直线的斜率,相切时取得最值,则的最大值为,②正确;
对于③,若△ABC为锐角三角形,
则A+B>,-B
所以正确命题的个数是2个.
【补偿训练】已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是 ( )
A.a≥-3 B.a>-3 C.a≤-3 D.a<-3
【解析】选D.因为x+3≥0,x≥-3,所以A={x|x≥-3}.
又因为a∈A是假命题,即a∉A,所以a<-3.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”条件p: ,结论q: .它是 (填“真”或“假”)命题.
【解析】a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,所以命题为真命题.
答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真
4.下列4个命题:
①∀a∈R,a2>0;
②∃α∈R,sin2α+cos2α=;
③∀x1,x2∈R,若x1
【解析】①a=0时,命题错误;
②不存在α∈R,sin2α+cos2α=;
③因为y=2x是增函数,
所以∀x1,x2∈R,若x1
答案:③④
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.
(1)乘积为1的两个实数互为倒数.
(2)奇函数的图象关于原点对称.
(3)与同一直线平行的两个平面平行.
【解析】(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.
p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.
(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.
p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.
(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.
p:两个平面与同一条直线平行;q:两个平面平行.
6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题?说明理由.
【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.
函数f(x)= 2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.
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