学业分层测评（二十一）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
【解析】 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
【答案】 D
2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )
A．a2＋b2＝0
B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0
D．a＝0，b＝0
【解析】 由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
【答案】 B
3．(2016·湖南师大附中高一检测)圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )
A．1 B．4
C．5 D．6
【解析】 圆心(0,0)到M的距离|OM|＝＝5，所以所求最小值为5－1＝4.
【答案】 B
4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 (－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．
【答案】 D
5．(2016·兰州高一检测)当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
【解析】 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
【答案】 C
二、填空题
6．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
【解析】 ∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴|a|>，即a>或a<－.
【答案】 a>或a<－
7．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
【解析】 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
【答案】 1＋
三、解答题
8．已知圆C过点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程.
【导学号：09960131】
【解】 法一：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∵A，B∈圆C，C∈l，
∴解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.
法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵C∈l，
∴2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，
∴圆心为C(a,5－2a)．
由圆的定义得|AC|＝|BC|，
即
＝.
解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1,3)，半径r＝|CA|＝＝5.
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.
9．求圆2＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．
【解】 圆2＋(y＋1)2＝的圆心为M，半径r＝.设所求圆的圆心为(m，n)，
∵它与关于直线x－y＋1＝0对称，
∵解得
∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝.
∴对称圆的方程是(x＋2)2＋2＝.
[能力提升]
10．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2，(4－) B.(4＋)，(4－)
C.，4－ D.(＋2)，(－2)
【解析】 点A(－1,0)，B(0,2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－)，选B.
【答案】 B
11．设P(0,0)，Q(5,0)，R(0，－12)，求△PQR的内切圆的方程和外接圆的方程.
【导学号：09960132】
【解】 |PQ|＝5，|PR|＝12，|QR|＝13，
∴|PQ|2＋|PR|2＝|QR|2，
∴△PQR为直角三角形，且∠P为直角，
∴内切圆的半径r1＝＝2，
圆心为C1(2，－2)．
∴内切圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
∵外接圆的半径r2＝，
圆心为C2，
∴外接圆的方程为
2＋(y＋6)2＝.