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课时提升作业(九)
分段函数及映射
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·南阳高一检测)设集合A={2,4,6,8,10},B={1,9,25,49,81,100},下面的对应关系f能构成A到B的映射的是( )
A.f:x→(x-1)2 B.f:x→(2x-3)2
C.f:x→-2x-1 D.f:x→2x-3
【解析】选A.观察集合A与B中的元素,可知集合A中元素减1后的平方对应集合B中的元素.故选项A构成从A到B的映射.
2.(2015·天津高一检测)集合A的元素按对应关系“先乘再减1”和集合B中的元素对应,在这种对应所成的映射f:A→B,若集合B={1,2,3,4,5},那么集合A不可能是 ( )
A.{4,6,8} B.{4,6}
C.{2,4,6,8} D.{10}
【解析】选C.设x∈A,则f(x)=x-1,由f(x)=1得x=4,由f(x)=2,得x=6.由f(x)=3得x=8;由f(x)=4得x=10;由f(x)=5得x=12,据此可知,x≠2,故应选C.
3.已知A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},映射f:A→B(其中x∈A,y∈B)的对应关系可以是 ( )
①f:x→y=x-2;②f:x→y=x;
③f:x→y=;④f:x→y=|x-2|.
A.①② B.①③ C.①②③④ D.②③④
【解析】选D.按照①给出的对应关系,A中元素0在B中没有元素与之对应,按照②,③,④给出的对应关系,A中任何一个元素在B中都有元素与之对应且唯一.
4.(2015·西安高一检测)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则f(f)= ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选B.由图象知,f(x)=
所以f=-1=-,
所以f(f)=f=-+1=.
5.(2014·济宁高一检测)已知f(x)=则f+f等
于 ( )
A.-2 B.4 C.2 D.-4
【解析】选B.f=2×=,f=f=f=f
=f=,故f+f=4.
【补偿训练】设f(x)=则f(5)的值是( )
A.24 B.21 C.18 D.16
【解析】选A.f(5)=f(f(10)),f(10)=f(f(15))=f(18)=21,f(5)=f(21)=24.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数f(x)=则函数的值域是 .
【解析】因为f(x)=
所以函数的值域是{2,4,5}.
答案:{2,4,5}
7.设A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1对应.当y=2时,则x= .
【解析】由x2+1=2,得x=±1.
答案:±1
8.设集合A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是 .
【解题指南】要求x0的取值范围,应先构造关于x0的不等式,然后解不等式得结论.
【解析】x0∈A时,f(x0)∈,
所以f(f(x0))=2=2∈A,
解得
9.下列对应关系中,哪些是从集合A到集合B的映射?
(1)A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=
(2)设A={矩形},B={实数},对应关系f:矩形的面积.
【解析】(1)对于集合A中任意一个非负数都唯一对应元素1,对于集合A中任意一个负数都唯一对应元素0,所以f是从集合A到集合B的映射.
(2)对于每一个矩形,它的面积是唯一确定的,所以f是从集合A到集合B的映射.
10.已知f(x)=
(1)画出f(x)的图象.
(2)求函数f(x)的定义域和值域.
【解析】(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.
(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.
由图象知,当-1≤x≤1时,
f(x)=x2的值域为[0,1],
当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知函数f(x)=若f(f(x))=2,则x的取值范围是 ( )
A.∅ B.[-1,1]
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.{2}∪[-1,1]
【解析】选D.若x∈[-1,1],则有f(x)=2∉[-1,1],所以f(2)=2;若x∉[-1,1],则f(x)=x∉[-1,1],所以f(f(x))=x,此时若f(f(x))=2,则有x=2.
【误区警示】本题易将x∉[-1,1]的情况漏掉而错选B.
2.(2015·济南高一检测)某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3km(含3km),以后每1km为1.6元(不足1km,按1km计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为 ( )
【解析】选C.由题意,当0
3.(2015·宝鸡高一检测)已知集合A={a,b},B={c,d},则从A到B的不同映射有
个.
【解析】a→c,b→c;a→d,b→d;a→c,b→d;a→d,b→c,共4个.
答案:4
【拓展延伸】从集合A到集合B映射个数规律
从集合A到集合B的映射可采用列举法一一列举出来.一般有如下规律:若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,那么从集合A到集合B的映射有nm个.
4.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是 .
【解析】由题意得f(x)=根据函数f(x)的图象得值域是(-∞,1].
答案:(-∞,1]
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B是从A到B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中元素在B中的对应元素和B中元素在A中的对应元素.
【解析】将x=代入对应关系,可求出其在B中的对应元素为(+1,3).由得x=.所以在B中的对应元素为(+1,3),在A中的对应元素为.
6.如图是一个电子元件在处理数据时的流程图:
(1)试确定y与x的函数解析式.
(2)求f(-3),f(1)的值.
(3)若f(x)=16,求x的值.
【解题指南】弄清流程图的含义是解答本题的关键.
【解析】(1)y=
(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.
(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).
若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.
综上,可得x=2或x=-.
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