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  • 高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评8 Word版含答案

    2021-05-29 高一下册数学人教版

    学业分层测评(八)
    (建议用时:45分钟)
    [达标必做]
    一、选择题
    1.下列说法正确的个数是(  )
    ①若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;
    ②若a∥b,则a,b与c所成的角相等;
    ③若a⊥b,b⊥c,则a∥c.
    A.3  B.2
    C.1 D.0
    【解析】 ①中a与c也可能异面,③中a与c也可能相交或异面,②正确.
    【答案】 C
    2.a、b为异面直线是指
    ①a∩b=∅,且a不平行于b;②a⊂平面α,b⊄平面α,且a∩b=∅;③a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=∅;④不存在平面α能使a⊂α,且b⊂α成立. (  )
    A.①②③ B.①③④
    C.②③ D.①④
    【解析】 ②③中的a,b有可能平行,①④符合异面直线的定义.
    【答案】 D
    3.下列选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(  )
    【导学号:09960052】
    【解析】 易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.
    【答案】 C
    4.如图2­1­19所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于(  )
    图2­1­19
    A.45° B.60°
    C.90° D.120°
    【解析】 连接A1B,BC1,因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点.
    A1B∥EF,BC1∥GH.
    ∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角,
    连接A1C1知,△A1BC1为正三角形,故∠A1BC1=60°.
    【答案】 B
    5.如图2­1­20,三棱柱ABC­A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(  )
    图2­1­20
    A.CC1与B1E是异面直线
    B.C1C与AE共面
    C.AE与B1C1是异面直线
    D.AE与B1C1所成的角为60°
    【解析】 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.
    【答案】 C
    二、填空题
    6.如图2­1­21所示,正方体ABCD­A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:
    图2­1­21
    ①直线AM与CC1是相交直线;
    ②直线AM与BN是平行直线;
    ③直线BN与MB1是异面直线;
    ④直线AM与DD1是异面直线.
    其中正确的结论为________(注:把你认为正确结论的序号都填上).
    【解析】 由异面直线的定义知③④正确.
    【答案】 ③④
    7.如图2­1­22,在三棱锥A­BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD和AC所成角的度数为________.
    图2­1­22
    【解析】 依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
    【答案】 60°
    三、解答题
    8.(2016·重庆高一检测)如图2­1­23,长方体ABCD­A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.
    (1)求证:D1E∥BF;
    (2)求证:∠B1BF=∠D1EA1.
    图2­1­23
    【证明】 (1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.
    在矩形ABB1A1中,易得EMA1B1,
    ∵A1B1C1D1,
    ∴EMC1D1,
    ∴四边形EMC1D1为平行四边形,
    ∴D1E∥C1M.
    在矩形BCC1B1中,易得MBC1F,∴BFC1M.
    ∴D1E∥BF.
    (2)∵ED1∥BF,BM∥EA1,
    又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,
    ∴∠B1BF=∠D1EA1.
    9.(2015·沈阳高一检测)如图2­1­24,正方体ABCD­EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
    (1)BE与CG所成的角;
    (2)FO与BD所成的角.
    【导学号:09960053】
    图2­1­24
    【解】 (1)如图,因为CG∥BF,
    所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
    又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.
    (2)连接FH,因为HDEA,EAFB,所以HDFB,所以四边形HFBD为平行四边形,
    所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
    连接HA、AF,易得FH=HA=AF,
    所以△AFH为等边三角形,
    又依题意知O为AH的中点,
    所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.
    [自我挑战]
    10.(2016·烟台高一检测)如图2­1­25是正方体的平面展开图,在这个正方体中, 【导学号:09960054】
    图2­1­25
    ①BM与ED平行;
    ②CN与BE是异面直线;
    ③CN与BM成60°角;
    ④DM与BN是异面直线.
    以上四个命题中,正确命题的序号是(  )
    A.①②③ B.②④
    C.③④ D.②③④
    【解析】 由题意画出正方体的图形如图:
    显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确.
    【答案】 C
    11.在四面体A­BCD中,E、F分别是AB、CD的中点.若BD、AC所成的角为60°,且BD=AC=1.求EF的长度.
    【解】 如图,取BC中点O,连接OE、OF,
    ∵OE∥AC,OF∥BD,
    ∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角,而AC、BD所成的角为60°.
    ∴∠EOF=60°或∠EOF=120°.
    当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=.
    当∠EOF=120°时,取EF的中点M,连接OM,则OM⊥EF,
    EF=2EM=2×=.
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