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课时提升作业 二十一
导数的运算法则
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.关于x的函数f(x)=cosx+sina,则f′(0)等于 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.±1
【解析】选A.f′(x)=-sinx,f′(0)=0.
2.(2016·临沂高二检测)若曲线f(x)=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选D.f′(x)=sinx+xcosx,f′=1,
由题意得-=-1,
即a=2.
3.(2016·德州高二检测)函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0,那么x0等
于 ( )
A.a B.±a C.-a D.a2
【解析】选B.y′=
==.
由=0,得x0=±a.
4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则b的值为 ( )
A.3 B.-3 C.5 D.-5
【解析】选A.由点(1,3)在直线y=kx+1上,得k=2,
由点(1,3)在曲线y=x3+ax+b上,得1+a+b=3,
即a+b=2,
y′=3x2+a,
由题意得3×12+a=2.
所以a=-1.
所以b=3.
5.(2016·武汉高二检测)正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 ( )
A.∪ B.[0,π)
C. D.∪
【解析】选A.因为(sinx)′=cosx,
因为kl=cosx,所以-1≤kl≤1,
所以αl∈∪.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·滨州高二检测)在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为 .
【解析】设点P(x0,y0),y′=′=(4x-2)′=-8x-3,
所以tan135°=-1=-8,
所以x0=2.所以y0=1.所以P点坐标为(2,1).
答案:(2,1)
7.(2016·天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为 .
【解题指南】求出f′(x),代入x=0即可.
【解析】因为f′(x)=(2x+3)ex,所以f′(0)=3.
答案:3
8.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线方程为 .
【解析】因为y′=lnx+1,y′=2,
所以切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.
答案:2x-y-e=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx过点(1,5),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,求f(x)的解析式.
【解题指南】本题主要考查利用导数求解参数问题,观察y=f′(x)的图象可知y=f′(x)过点(1,0),(2,0),即f′(1)=0,f′(2)=0.
【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c,
又f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,故
解得a=2,b=-9,c=12.
故f(x)的解析式是f(x)=2x3-9x2+12x.
10.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线的方程为x+2y+5=0,求函数的解析式.
【解析】由于(-1,f(-1))在切线上,
所以-1+2f(-1)+5=0,所以f(-1)=-2.
因为f′(x)=,
所以
解得a=2,b=3(因为b+1≠0,所以b=-1舍去).
故f(x)=.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=x3+(b-|a|)x2+ (a2-4b)x是奇函数,则
f′(0)的最小值是 ( )
A.-4 B.0 C.1 D.4
【解析】选A.由f(x)是奇函数,
得b-|a|=0,即b=|a|,
所以f(x)=x3+(b2-4b)x(b≥0),
f′(x)=3x2+(b2-4b),f′(0)=b2-4b=(b-2)2-4,
当b=2时,f′(0)取最小值-4.
2.(2016·广州高二检测)已知f(x)=x2+cosx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的大致图象是 ( )
【解析】选A.因为f(x)=x2+cosx,所以f′(x)=-sinx.又因为f′(-x)=
-sin(-x)=-=-f′(x),
故f′(x)为奇函数,故函数f′(x)的图象关于原点对称,排除B、D,又因为
f′=×-sin=-<0,排除C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
【解析】y′=1+,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率为k=f′(1)=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0⇒a=8.
答案:8
【补偿训练】若f(x)=(2x+a)2,且f′ (2)=20,则a= .
【解析】f(x)=(2x+a)2=4x2+4ax+a2,f′(x)=8x+4a,
所以f′(2)=16+4a=20,所以a=1.
答案:1
4.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=
2xf′(e)+lnx则f′(e)= .
【解析】因为f(x)=2xf′(e)+lnx,
所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,
解得f′(e)=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·烟台高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数
f′(x)=2x-8.
(1)求a,b的值.
(2)设函数g(x)=exsinx+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.
【解析】(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),
所以f′(x)=2ax+b,
又知f′(x)=2x-8,
所以a=1,b=-8.
(2)由(1)可知g(x)=exsinx+x2-8x+3,
所以g′(x)=exsinx+excosx+2x-8,
所以g′(0)=e0sin0+e0cos0+2×0-8=-7,
又知g(0)=3.
所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),
即7x+y-3=0.
6.(2016·重庆高二检测)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,
f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
【解题指南】求出导函数,根据f′(1)=2a,f′(2)=-b求出a,b,最后将x=1分别代入原函数及导函数求出f(1)及切线斜率.
【解析】因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f′(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f′(1)=3+2a+b,又f′(1)=2a,
因此3+2a+b=2a,解得b=-3.
又令x=2,得f′(2)=12+4a+b,
又f′(2)=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-.
因此f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.
又f′(1)=2×=-3,
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
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