3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
1．倍角公式
(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα，sincos＝sinα；
(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1
＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan2α＝.
2．倍角公式常用变形
(1)＝__________，＝__________；
(2)(sin α±cos α)2＝__________；
(3)sin2α＝______________，cos2α＝______________.
一、选择题
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A.B.C.D.
2．函数y＝2cos2(x－)－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
3．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为( )
A．－B．－C.D.
4．若＝1，则的值为( )
A．3B．－3C．－2D．－
5．如果|cosθ|＝，<θ<3π，则sin的值是( )
A．－B.C．－D.
6．已知角α在第一象限且cosα＝，则等于( )
A.B.C.D．－
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.的值是________．
8．函数f(x)＝cosx－sin2x－cos2x＋的最大值是______．
9．已知tan＝3，则＝______.
10．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，则α＝________.
三、解答题
11．求证：＝tan4A.
12．若cos＝－，
13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.
14．求值：tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝ (n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝.
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
答案
知识梳理
2．(1)cosα sinα (2)1±sin2α (3)
作业设计
1．B 2.A
3．B [cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(－α)]
＝－[1－2sin2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝－.]
4．A [∵＝1，∴tanθ＝－.
∴＝＝＝＝＝3.]
5．C [∵<θ<3π，|cosθ|＝，
∴cosθ<0，cosθ＝－.
∵<<π，∴sin<0.
由sin2＝＝，
∴sin＝－.]
6．C [∵cosα＝且α在第一象限，∴sinα＝.
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝＝＝.]
7．2
解析 ＝＝＝2.
8．2
解析 f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋2.
∴当cosx＝时，f(x)max＝2.
9．3
解析 ＝＝＝tan＝3.
10.
解析 ∵sin22α＋sin2αcosα－(cos2α＋1)＝0.
∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，)．∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sinα－1＝0.
∴sinα＝(sinα＝－1舍)．
∴α＝.
11．证明 ∵左边＝＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边．
∴＝tan4A.
12．解 ＝＝＝sin2x＝sin2xtan＝costan＝tan，
∵
又∵cos＝－，
∴sin＝，tan＝－.
∴原式＝×＝－.
13．解 原式＝＝＝
＝＝.
14．解 原式＝·cos10°
＝·cos10°·
＝·cos10°·2
＝＝＝－1.