一、选择题
1．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
建立的回归模型拟合效果最好的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选A 相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好．
3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71.则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选D 回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；
由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，B正确；
依据回归方程中的含义可知，x每变化1个单位，相应变化约0.85个单位，C正确；
用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故D不正确．
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2，如下表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高．
5．(福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，
而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，
可求得＝
＝＝，
＝－＝－×＝－，
所以
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
答案：1
7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下表：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为________________．
解析：设y对x的线性回归方程为＝x＋，
由表中数据得＝176，＝176，＝，
＝176－×176＝88，
所以y对x的线性回归方程为＝x＋88.
答案：＝x＋88
8．关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：＝6.5x＋17.5，乙：＝7x＋17，则____________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．
解析：设甲模型的相关指数为R，
则R＝1－＝1－＝0.845；
设乙模型的相关指数为R，
则R＝1－＝0.82.
因为0.845＞0.82，即R＞R，
所以甲模型拟合效果更好．
答案：甲
三、解答题
9．(新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解：(1)由所给数据计算得
＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
10．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据如下表：
价格x/元
14
16
18
20
22
需求量y/件
56
50
43
41
37
求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．(参考数据：x＝1 660，xiyi＝3 992)
解：从作出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．
由数据可得＝18，＝45.4.
由计算公式得＝－2.35，＝－＝87.7.
故y关于x的线性回归方程为＝－2.35x＋87.7.
列表：
yi－i
1.2
－0.1
－2.4
0.3
1
yi－
10.6
4.6
－2.4
－4.4
－8.4
所以 (yi－i)2＝8.3， (yi－)2＝229.2.
相关指数R2＝1－≈0.964.
因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好．