[学习目标]
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
[知识链接]
设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式≥(a，b＞0)?
答 设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为
f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x.
令f′(x)＝0，即c－2x＝0，得x＝.
故当x＝时，f(x)有最大值f＝，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的.
若设这两个正数分别为a，b，则有≥ab(a＞0，b＞0)，即≥(a，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．
[预习导引]
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路是
←
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
要点一 用料最省问题
例1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解
如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
跟踪演练1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
解 设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006，于是有p＝0.006v3.
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以，航行1海里的总费用为：
q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.∵当v<20时，q′<0；
当v>20时，q′>0，
∴当v＝20时，q取得最小值，
即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．
要点二 面积、容积的最值问题
例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为x－20 cm， cm，
其中x>20，y>25.
两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，
∴S′＝＋25＝＋25.
令S′>0得x>140，令S′<0得20
当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．
规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．
跟踪演练2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解
如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S＝2πRh＋2πR2，
由V＝πR2h，得h＝，
则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，
令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，
从而h＝＝＝＝2 ，即h＝2R.
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．
所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．
要点三 成本最省，利润最大问题
例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为
y＝a·＋bv2·＝s，
∴所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]
(2)由题意s、a、b、v均为正数．
y′＝s＝0得v＝.但v∈(0，c]．
①若≤c，则当v＝时，全程运输成本y最小；
②若>c，则v∈(0，c]，
此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．
所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小，
当≤c时，行驶速度v＝；
当>c时，行驶速度v＝c.
规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：
①合理选择变量，正确给出函数关系式．
②与实际问题相联系．
③必要时注意分类讨论思想的应用．
跟踪演练3 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？
解 收入R＝q·p＝q＝25q－q2，
利润L＝R－C＝－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100(0
令L′＝0，即－q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84.
所以产量为84时，利润L最大．
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B．
C．－1 D．－8
答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )
A. B．
C． D．2
答案 C
解析 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
3．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解 设箱底边长为x cm，则箱高h＝ cm，箱子容积V(x)＝x2h＝(0＜x＜60)．
V′(x)＝60x－x2令V′(x)＝60x－x2＝0，
解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．
答 当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.
4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0
依题意得h(x)＝×＝x2＋－(0
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．
2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．
一、基础达标
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A．4 B．6
C．4.5 D．8
答案 A
解析 设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
答案 B
解析 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0
当0
当0.032 4
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B．3π
C．3π D．3π
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
答案 B
解析 设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (0
5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
答案 3
解析 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．
6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
答案 40
解析 由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40，或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解
设版心的高为x dm，则版心的宽为
dm，此时四周空白面积为
S(x)＝(x＋4)－128
＝2x＋＋8，x>0.
求导数，得S′(x)＝2－.
令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
于是宽为＝＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；
当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小．
二、能力提升
8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
答案 D
解析 设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.
9．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
答案 D
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．
答案 6 3
解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝＝.(0
得a＝6或a＝－10(舍去)．
∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．
当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解 设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.
则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．
由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，
∴f(x)＝a(0＜x＜100)．
令f′(x)＝＝0，
得x＝10.
当0
∴当x＝10时，f(x)有最小值，
即速度为10 km/h时，总费用最少．
三、探究与创新
13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解 (1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，
又V＝，
故l＝＝－＝.由于l≥2r，因此0
因此y＝4π(c－2)r2＋，0
当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0
当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2，即3