自我小测
1．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是( )
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6
C．a＜－3或a＞6 D．a≤－3或a≥6
4．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．a＝0或a＝21 B．0≤a≤21
C．a＜0或a＞21 D．0＜a＜21
5．函数y＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
6．函数f(x)＝ex－2x的极小值为__________．
7．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是__________．
8．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝______.
9．求函数f(x)＝x2e－x的极值．
10．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
参考答案
1．解析：f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f′(x)＜0，在区间(－1,2)上，f′(x)＞0，
故当x＝－1时，f(x)取极小值．
答案：C
2．解析：f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
答案：C
3．解析：由题意可知f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.
∵f(x)既有极大值又有极小值，
∴Δ＞0，即4a2－12(a＋6)＞0.
∴(a－6)(a＋3)＞0.∴a＞6或a＜－3.
答案：C
4．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，因为f(x)在R上不存在极值，则Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.
答案：B
5．解析：令y＝f(x)，f′(x)＝3ax2＋b，
由已知得，f(1)＝－2，f′(1)＝0.
∴解得a＝1，b＝－3，故选A．
答案：A
6．解析：f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得ex＝2，即x＝ln 2，
当x＜ln 2时，f′(x)＜0，x＞ln 2时，f′(x)＞0，
所以x＝ln 2时，f(x)取极小值且极小值为f(ln 2)＝2－2ln 2.
答案：2－2ln 2
7．解析：设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，
又f(x)的图象与x轴有3个交点，故
∴－2＜k＜2.
答案：(－2,2)
8．解析：y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，
且当x＞1时，y′＜0，
当－1≤x≤1时，y′≥0，
当x＜－1时，y′＜0，
故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1，
又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
答案：2
9．解：函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·′
＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
4e－2
由上表可以看出，当x＝0时，函数f(x)有极小值，且为f(0)＝0；
当x＝2时，函数f(x)有极大值，且为f(2)＝4e－2.
10．解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，
∴解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)，知f(x)＝－ln x－x2＋x，
f′(x)＝－x－1－x＋1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，
当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值.
在x＝2处函数f(x)取得极大值－ln 2.
∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．