第一讲 坐标系
二、极坐标
A级 基础巩固
一、选择题
1．点P的直角坐标为(1，－)，则它的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：ρ＝2，tan θ＝－，因为点P(1，－)在第四象限，
故取θ＝－，所以点P的极坐标为.
答案：C
2．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是.
答案：A
3．已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是，，则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：依题意可知△ABC如图所示，显然OC⊥AB，|OC|＝2，∠COx＝＋＝，
所以C.
答案：C
4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点与极轴垂直的直线对称
D．重合
解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．
答案：B
5．极坐标系中，O为极点，已知A，B，则|AB|等于( )
A．4 B．4 C．2 D．2
解析：由A，B知∠AOB＝－＝，
又|OA|＝|OB|＝4，
故△AOB为等边三角形，故|AB|＝4.
答案：B
二、填空题
6．已知A，B两点的极坐标为，，则线段AB中点的直角坐标为________．
解析：因为A，B两点的极坐标为，，
所以A，B两点的直角坐标是(3，3)，(－4，－4)，
所以线段AB中点的直角坐标是.
答案：
7．在极坐标系中，O为极点，若A，B，则△AOB的面积等于________．
解析：点B的极坐标可表示为，
则∠AOB＝－＝，
故S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×3×4·sin ＝3.
答案：3
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
答案：3
三、解答题
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)．
(1)(，3)；
(2)(－1，－1)；
(3)(－3，0)
解：(1)ρ＝＝2，tan θ＝＝.
又因为点在第一象限，所以θ＝.
所以点(，3)的极坐标为.
(2)ρ＝＝，tan θ＝1.
又因为点在第三象限，所以θ＝.
所以点(－1，－1)的极坐标为.
(3)ρ＝＝3，
可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π)．
10．某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标[限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)]．
解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC|＝600，∠AOC＝，故C.
又|OA|＝600×cos ＝300，
|OD|＝600×sin ＝300，
|OE|＝300，|OF|＝300，|OG|＝150.
故A(300，0)，D，E，
F(300，π)，G.
B级 能力提升
1．点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：因为ρ＝－2<0，
所以找点时，先找到角－的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是，如图所示．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
答案：B
2．在极坐标系中，定点A，点B的一个极坐标为(ρ>0)，当线段AB最短时，点B的极坐标为__________________．
答案：(k∈Z)
3．舰A在舰B的正东方向6 km处，舰C在舰B的北偏西
30°方向4 km处，它们围捕海洋动物．某时刻舰A发现动物的信号，4秒后舰B，舰C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求动物所处位置的极坐标．
解：对舰B而言，A，C两舰位置如图所示，取A，B所在直线为x轴，以AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A，B，C三舰的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2)．
由于B，C同时发现动物信号，记动物所处位置为P，则|PB|＝|PC|.
于是点P在BC的中垂线l上，
易求得其方程为x－3y＋7＝0.
又由A，B两舰发现动物信号的时间差为4秒知
|PB|－|PA|＝4，
于是知P应在双曲线－＝1的右支上．直线l与双曲线的交点P(8，5)即为动物的位置．
根据两点的斜率公式得直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.
由两点间的距离公式得|PA|＝10.
所以以舰A所在地为极点，动物所处位置的极坐标为.