学业分层测评（十）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7 B．15
C．20 D．25
【解析】 S5＝＝＝＝15.
【答案】 B
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．
【解析】 ＝＝
＝＝×＝1.
【答案】 A
3．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
【解析】 ∵a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7.
d＝＝2，
Sn＝na1＋·d
＝n＋×2＝n2＝100，
∴n＝10.
【答案】 B
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A. B. C．10 D．12
【解析】 ∵公差为1，
∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.
【答案】 B
5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
【解析】 a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]
＝3×5＝15.
【答案】 A
二、填空题
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝ .
【解析】 a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝.
【答案】
7．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝ .
【解析】 设公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.
【答案】 40
8．若数列的前n项和为Sn，且Sn＝，则n＝ . 【导学号：05920068】
【解析】 Sn＝＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
由已知得＝，
解得n＝19.
【答案】 19
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
【解】 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图232所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：
图232
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
【解】 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.
由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：
a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．
(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为：
S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．
答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板．
[能力提升]
1．如图233所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
图233
A. B.
C. D．
【解析】 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝
＝.
【答案】 C
2．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A．15 B．24
C．18 D．28
【解析】 设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
∴6a1＋(n＋12)d＝24.
又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值．
所以＝5，n＝18.
【答案】 C
3．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于 ．
【解析】 由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
【答案】 27
4．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
【解】 (1)由a＋2an＝4Sn＋3， ①
可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. ②
②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由an>0，得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝
＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＋＋…＋
＝.