第二讲 参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第1课时 椭圆
A级 基础巩固
一、选择题
1．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是( )
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
解析：把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，则b＝2，a＝3，其参数方程为(φ为参数)．
答案：B
2．椭圆(θ为参数)的焦距为( )
A. B．2 C. D．2
解析：消去参数θ得椭圆方程为：＋＝1，
所以a2＝25，b2＝4，所以c2＝21，所以c＝，
所以2c＝2.
答案：B
3．点(2，3)对应曲线(θ为参数)中参数θ的值为( )
A．kπ＋(k∈Z) B．kπ＋(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：由得
故D正确．
答案：D
4．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2，3) B．点(2，0)
C．点(1，3) D．点
解析：把四个选项代入P点检验，只有B符合．
答案：B
5．椭圆(θ为参数，0≤θ<2π)上有一点P，则P点的离心角为( )
A. B. C. D.
解析：将P代入得
又0≤θ<2π，所以θ＝.
答案：B
二、填空题
6．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．
解析：当t＝时，
即M(1，2)，同理N(，2)．
kMN＝＝－2.
答案：－2
7．已知P是椭圆＋＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．
解析：设P(4cos θ，2sin θ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得 即(θ为参数)，
消去θ得动点M的轨迹方程是＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知A(3，0)，P是椭圆＋＝1上的动点．若使|AP|最大，则P点坐标是________．
解析：椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(5cos θ，4sin θ)，
则|PA|＝＝
＝
＝|3cos θ－5|≤8，
当cos θ＝－1时，|PA|最大，
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5，0)．
答案：(－5，0)
三、解答题
9．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值，以及取得最大值时点P的坐标．
解：直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0.
因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，
故可设P(2cos θ，sin θ)．
因此点P到直线l的距离
d＝＝，
所以当sin＝±1，即θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.当k为偶数时，得点P的坐标为，当k为奇数时，得点P的坐标为.
所以点P到直线l的距离的最大值为，取得最大值时点P的坐标为或.
10．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，
得2a＝4，即a＝2.
又点A在椭圆上，
因此＋＝1，得b2＝3，
于是c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
消去θ，得＋＝1.
即为线段F1P中点的轨迹方程．
B级 能力提升
1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C.＋ D．2
解析：椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，
x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.
答案：D
2．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ<2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：
4sin θ＝2cos θ＋b
因为恒有公共点，所以方程有解．
令f(θ)＝b＝4sin θ－2cos θ＝2sin(θ－φ)，其中tan φ＝.所以－2≤f(θ)≤2.
所以－2≤b≤2.
答案：[－2，2]
3．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝＝＝
cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.