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综合质量评估
(第一至第四讲)
(90分钟 120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·唐山高二检测)设函数f(x)=,则使f(x)≥1的自变量x的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2]∪[0,4] B.(-∞,-2]∪[0,1]
C.(-∞,-2]∪[1,4] D.[-2,0]∪[1,4]
【解析】选A.当x<1时,
由(x+1)2≥1得x≤-2或0≤x<1;
当x≥1时,由4-|x-1|≥1得1≤x≤4.
综合上述,使f(x)≥1的自变量x的取值范围是
(-∞,-2]∪[0,4].
2.(2016·北京高二检测)设a,b∈R,下面的不等式能成立的是 ( )
A.a2+3ab>b2 B.ab+a>b+ab
C.< D.a2+b2≥2(a-b-1)
【解析】选D.取a=0,b=1,验证排除A,B,再取a=4,b=3时,可排除C.
【一题多解】选D.a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+b2-2b+1=(a-1)2+(b-1)2≥0,故选D.
【补偿训练】若a,b,c,d∈R,且ab>0,-<-,则下列各式恒成立的是 ( )
A.bc
C.> D.<
【解析】选B.对-<-两边同乘以-ab,
由-ab<0,得bc>ad.
3.(2016·聊城高二检测)“a>0且b>0”是“≥”成立的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a>0且b>0,可得≥,
反之若≥.
则a≥0且b≥0,不一定是“a>0且b>0”.故选A.
4.若P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小顺序是 ( )
A.P>Q>R B.P>R>Q
C.Q>P>R D.Q>R>P
【解析】选B.P==,
Q=-=,
R=-=.
因为2<+<+,
所以>>,
所以P>R>Q.
5.若a,b∈R,则不等式|a|+|b|≥|a+b|中等号成立的充要条件是 ( )
A.ab>0 B.ab≥0
C.ab<0 D.ab≤0
【解析】选B.若ab=0,则|a|+|b|=|a+b|;
若ab>0,则|a|+|b|=|a+b|;若ab<0,则|a|+|b|>|a+b|.
6.(2016·中山高二检测)若关于x的不等式|x-1|+|x-2|>a2+a+1(x∈R)恒成立,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,0)
【解析】选D.根据绝对值不等式的意义知|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,所以,不等式|x-1|+|x-2|>a2+a+1(x∈R)恒成立,等价于a2+a+1<1,解得-1
A.A>B B.A
【解题指南】通过对式子B的分母放大使得与式子A分母一样,然后进行大小比较.
【解析】选B.B=+>+==A.
【补偿训练】设x>0,y>0,若P=,Q=+,则P,Q的大小关系是 ( )
A.P=Q B.P
【解析】选B.因为x>0,y>0,
所以P==+<+=Q.
8.(2016·南昌高二检测)不等式|x-1|+|x-2|≥3的解集是 ( )
A.{x|x≤1或x≥2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|x≤0或x≥3} D.{x|0≤x≤3}
【解析】选C.由x≤1时,原不等式可化为-(x-1)-(x-2)≥3,得x≤0.因此x≤0.
当1
因此x≥3,
综上所述,原不等式的解集是{x|x≤0或x≥3}.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
9.(2016·聊城高二检测)若ε>0,|x|≤,|y|≤,|z|=,则|2x-y+3z|的最大值为 .
【解析】根据绝对值不等式的性质,所以|2x-y+3z|≤2|x|+|y|+3|z|≤ε.所以|2x-y+3z|的最大值为ε.
答案:ε
10.(2016·盐城高二检测)已知实数x,y,z满足x+2y+3z=a(a为常数),则x2+y2+z2的最小值为 .
【解析】根据柯西不等式可知,(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=a2,
所以x2+y2+z2≥.
答案:
11.若a>b>c,n∈N,且+≥恒成立,则n的最大值是 .
【解析】因为a>b>c,且+≥恒成立,于是n≤+恒成立.
因为+=+
=2++≥2+2=4.
所以n的最大值是4.
答案:4
12.请补全用分析法证明不等式“ac+bd≤”时的推论过程:要证明ac+bd≤ (1) ,
只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即要证:a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,
即要证a2d2+b2c2≥2abcd, (2) .
【解析】根据分析法的原理,及后续证明提示,可知在(1)处需要对ac+bd的正负讨论;对于(2)处需要考虑前面证明步骤成立的条件,及结论的写法.
答案:(1)当ac+bd≤0时,命题成立.当ac+bd>0时
(2)因为(ad-bc)2≥0,所以a2d2+b2c2≥2abcd,所以命题成立
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)(2016·福州高二检测)已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R.
(1)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
【解析】(1)因为a+b≥0,所以a≥-b,
已知f(x)是R上的增函数,所以f(a)≥f(-b),
又a+b≥0⇒b≥-a.同理f(b)≥f(-a),
两式相加,可得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)(1)中命题的逆命题成立.逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
下面用反证法证明,设a+b<0,则
⇒f(a)+f(b)
14.(10分)(2016·天津高二检测)正数x,y满足+=1.
(1)求xy的最小值.(2)求x+2y的最小值.
【解析】(1)由1=+≥2得xy≥36,
当且仅当=即y=9x=18时取等号.
故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x+2y=(x+2y)
19++≥19+2
=19+6.当且仅当=,即9x2=2y2时取等号.故x+2y的最小值为19+6.
15.(10分)(2016·天津高二检测)等腰Rt△AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P点分别作三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形,求这三个三角形的面积和的最小值.
【解题指南】本题需建立直角坐标系,设出P点的坐标,确定三角形面积和的函数,再应用柯西不等式求解.
【解析】以OA,OB分别为x轴、y轴,建立直角坐标系,如图.
则AB的直线方程为x+y=1.
设P的坐标为(xP,yP),则以P为公共顶点的三个三角形的面积和
S=++(1-xP-yP)2,
所以2S=++(1-xP-yP)2.
由柯西不等式,得
[++(1-xP-yP)2](12+12+12)
≥(xP+yP+1-xP-yP)2=1,
所以3·2S≥1,所以S≥.
当且仅当==时,等号成立,即xP=yP=时,面积S最小,且最小值为.
16.(10分)(2016·长安高二检测)已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1,|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.
【解析】因为a,b,c∈R,a2+b2+c2=1,由柯西不等式
得,(a-b+c)2≤(a2+b2+c2)(1+1+1)=3,
|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,等价于|x-1|+|x+1|≥3,解得x≤-或x≥.所以实数x的取值范围为∪.
17.(10分)已知函数f(x)=|x+2|-|2x-2|.
(1)解不等式f(x)≥-2.
(2)设g(x)=x-a,对任意x∈[a,+∞)都有g(x)≥f(x),求a的取值范围.
【解题指南】(1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f(x)≥-2的解集,再取并集,即得所求.
(2)作出f(x)的图象,数形结合求得满足x∈[a,+∞)时g(x)≥f(x)的a的取值范围.
【解析】(1)对于f(x)≥-2,当x≤-2时,不等式即x-4≥-2,即x≥2,所以x∈∅;
当-2
当x≥1时,不等式即-x+4≥-2,
即x≤6,所以1≤x≤6.
综上,不等式的解集为.
(2)f(x)=|x+2|-|2x-2|=函数f(x)的图象如图所示:
因为g(x)=x-a,表示一条斜率为1且在y轴上的截距等于-a的直线,当直线过(1,3)点时,-a=2.
①当-a≥2,即a≤-2时,恒有g(x)≥f(x)成立.
②当-a<2,即a>-2时,令f(x)=g(x),即-x+4=x-a,求得x=2+,
根据对任意x∈[a,+∞)都有g(x)≥f(x),所以a≥2+,即a≥4.
综上可得,a≤-2或a≥4.
18.(10分)(2016·南京高二检测)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn.
(2)设数列{an}的通项an=loga,(其中a>0,且a≠1),记Sn为数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
【解析】(1)设数列{bn}的公差为d,由题意得
⇒
所以bn=3n-2.
(2)由bn=3n-2知
Sn=loga(1+1)+loga+…+loga
=loga,
而logabn+1=loga.
于是,比较Sn与logabn+1的大小,即比较
(1+1)…与的大小.
取n=1,有(1+1)=>=.
取n=2,有(1+1)>>=.
由此猜想:
(1+1)…>.(*)
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,已验证(*)成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N+)时,(*)成立,即
(1+1)…>,
则当n=k+1时,
(1+1)…
>=.
因为-
==>0,
所以(3k+2)>=.
从而(1+1)…>,即当n=k+1时(*)也成立.
由①与②知,(*)对任意正整数n都成立.
所以,当a>1时,Sn>logabn+1,
当0