第二讲 证明不等式的基本方法
2.1 比较法
A级 基础巩固
一、选择题
1．若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解析：因为p－q＝＋－a－b＝≤0，所以p≤q.
答案：B
2．已知a，b都是正数，P＝， Q＝，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≥Q D．P≤Q
解析：因为a，b都是正数，
所以P＞0，Q＞0.
所以P2－Q2＝－()2＝≤0.
所以P2－Q2≤0.所以P≤Q.
答案：D
3．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列一定正确的是( )
A．ac≥b B．ab≥c
C．bc≥a D．ab≤c
解析：因为logac·logbc＝＝4，
所以lg2c＝4lg a·lg b≤(lg a＋lg b)2＝(lg ab)2.
又c＞1，a＞1，b＞1，
所以lg c≤lg ab，即c≤ab.
答案：B
4．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为( )
A．a5＞b5 B．a5＜b5
C．a5＝b5 D．不确定
解析：由等比数列的性质知a5＝，由等差数列的性质知b5＝2b3－b1.又a1≠a3，
故a5－b5＝－2b3＋b1＝＝＞0.
因此，a5＞b5.
答案：A
5．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．大小不确定
解析：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，0＜＜1，
所以loga＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，所以loga＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.故应选A.
答案：A
二、填空题
6．若－1＜a＜b＜0，则，， a2，b2中最小的是________．
解析：依题意，有＞，a2＞b2，故只需比较与b2的大小．
因为b2＞0，＜0，
所以＜b2.所以，，a2，b2中最小的是.
答案：
7．设x＝a2b2＋5， y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：由x＞y得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，故a＝－2，b＝－不同时成立．
答案：a＝－2，b＝－不同时成立
8．若0＜a＜b＜1，P＝log，Q＝(loga＋logb)，M＝log (a＋b)，则P，Q，M的大小关系是________．
解析：因为0＜a＜b＜1，所以＞，
所以log＜log＝log (ab)＝
(loga＋logb)，即P＜Q，又＜a＋b，
所以log＞log (a＋b)，即P＞M，所以Q＞P＞M.
答案：Q＞P＞M
三、解答题
9．已知a∈R，求证：3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2.
证明：3(1＋a2＋a4)－(1＋a＋a2)2＝3(1＋a2＋a4)－(1＋a2＋a4＋2a＋2a3＋2a2)＝2－2a－2a3＋2a4＝2(1－a)2(1＋a＋a2)≥0，即3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2.
10．已知a，b，c∈R＋，求证：aabbcc≥(abc).
证明：因为a，b，c是正数，不妨设a≥b≥c＞0，
则≥1，≥1，≥1.
因为＝abc＝·≥1，
所以aabbcc≥(abc).
B级 能力提升
1．已知a＞b＞0， c＞d＞0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是( )
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
解析：因为a＞b＞0，c＞d＞0，
所以ac＞bd＞0，＞，
所以m＞0，n＞0.
又因为m2＝ac＋bd－2，n2＝ac＋bd－(ad＋bc)，
又由ad＋bc＞2，
所以－2＞－ad－bc，
所以m2＞n2，所以m＞n.
答案：B
2．已知a＞0，对于大于1的自然数n，总有＜，则a的取值范围是________．
解析：因为0＜a＜a，且＞，所以0＜a＜1.
答案：(0，1)
3．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明：(1)由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy) 2.
将上式中的右式减左式，得y＋x＋(xy)2]－xy(x＋y)＋1]＝(xy)2－1]－xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)·(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，
由换底公式得logca＝，logba＝，logab＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)成立知所要证明的不等式成立．