阶段质量检测（二）B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A．(2，－7) B．(1,0) C. D.
解析：选C 由y＝cos 2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
当x＝时，y＝1－2×2＝，故选C.
2．直线x＋y＝0被圆(θ为参数)截得的弦长是( )
A．3 B．6 C．2 D.
解析：选B 圆的普通方程为x2＋y2＝9，半径为3，直线x＋y＝0过圆心，故所得弦长为6.
3．过点(3，－2)且与曲线(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 化为普通方程是：＋＝1，焦点坐标为(－，0)，(，0)，排除B、C、D.
4．直线(t为参数)的斜率是( )
A．2 B. C．－2 D．－
解析：选C 由
①×2＋②得2x＋y－1＝0，∴k＝－2.
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
解析：选A x＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y2＝－x＋1.
又x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]，
∴为抛物线的一部分．
6．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2,3) B．点(2,0) C．点(1,3) D．点
解析：选B 令x＝2cos θ，y＝3sin θ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：＋＝1，∴曲线过点(2,0)．
7．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4 C.＋ D．2
解析：选D 椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，
x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.
8．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A. B. C. D.或
解析：选D 直线化为＝tan α，即y＝tan α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2⇒tan2α＝，
∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
9．点P(x，y)在椭圆＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为( )
A．3＋ B．5＋ C．5 D．6
解析：选A 椭圆的参数方程为(θ为参数)，
x＋y＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋φ)，
∴(x＋y)max＝3＋.
10．曲线(θ为参数)的图形是( )
A．第一、三象限的平分线
B．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
C．以(－a，－a)、(－a，－a)为端点的线段和以(a，a)、(a，a)为端点的线段
D．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
解析：选D 显然y＝x，而x＝asin θ＋acos θ＝asinθ＋，－|a|≤x≤|a|.
故图形是以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为______________．
解析：双曲线的普通方程为－x2＝1，
由－x2＝0，得y＝±2x，即为渐近线方程．
答案：y＝±2x
12．圆的参数方程为(θ为参数)，则此圆的半径为________．
解析：平方相加得x2＋y2＝9sin2θ＋24sin θcos θ＋16cos 2θ＋16sin 2θ－24sin θcos θ＋9cos 2θ＝25，所以圆的半径为5.
答案：5
13．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：(s为参数)和C：(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：直线l可化为x＋y－2＝0，①
曲线C可化为y＝(x－2)2，②
联立①②消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝·
＝|x1－x2|＝.
答案：
14．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，又由得x2＋y2＝2.
由得即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过和时，求点M的坐标．
解：由摆线方程可知：
φ＝时，xM＝r，yM＝r，
∴M点坐标为.
φ＝时，xM＝r(7π＋2)，yM＝r，
∴点M坐标为.
16．(本小题满分12分)求直线(t为参数)被曲线ρ＝cos所截的弦长．
解：将方程ρ＝cos分别化为普通方程3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，
圆心C，
半径为，圆心到直线的距离d＝，
弦长＝2＝2＝.
17．(本小题满分12分)已知某曲线C的参数方程为，(其中t是参数，a∈R)，点M(3,1)在该曲线上．(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程．
解：(1)由题意可知有故∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为
由第一个方程得t＝代入第二个方程得y＝()2，
即(x－1)2＝4y为所求方程．
18．(本小题满分12分)已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－的直线，直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．
(1)求BC中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
解：(1)直线参数方程为(t为参数)，
代入圆的方程得t2－t＋9＝0，∴tM＝＝，
则xM＝，yM＝，中点坐标为M.
(2)设切线方程为(t为参数)，
代入圆的方程得t2＋(10cos α－6sin α)t＋9＝0.
Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，
整理得cos α(8cos α－15sin α)＝0，
cos α＝0或tan α＝.
∴过A点切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0.
又t切＝－＝3sin α－5cos α，
由cos α＝0得t1＝3，由8cos α－15sin α＝0，
解得可得t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，.
19．(本小题满分12分)在双曲线x2－2y2＝2上求一点P，使它到直线x＋y＝0的距离最短，并求这个最短距离．
解：设双曲线－y2＝1上一点P(sec α，tan α)0≤α＜2π，且α≠，α≠，
则它到直线x＋y＝0的距离为d＝＝.
于是d2＝，化简得，
(1＋2d2)sin2α＋2sin α＋2(1－d2)＝0.
∵sin α是实数，
∴Δ＝(2)2－8(1＋2d2)(1－d2)≥0，∴d≥.
当d＝时，sin α＝－，
∴α＝或，这时x0＝sec＝－2，y0＝tan＝1.
或x0＝sec＝2，y0＝tan ＝－1.
故当双曲线上的点P为(－2,1)或(2，－1)时，
它到直线x＋y＝0的距离最小，这个最小值为.
20．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将
消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
得相交弦方程x＋y－2＝0，
联立得解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.