高中数学必修5配套练习 等比数列的前n项和 第1课时

第二章　2.5　第1课时
一、选择题
1．设等比数列{an}的前n项和Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　)
A．210＋2　　　　　　 B．29－2
C．210－2 D．211－2
[答案]　D
[解析]　∵q＝＝2，∴S10＝＝2(210－1)＝211－2，选D．
2．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为(　　)
A．3 B．0
C．－1 D．任意实数
[答案]　C
[解析]　S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，＝，
所以a＝－1.
3．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为(　　)
A．－　 B．
C．1或－ D．－1或
[答案]　C
[解析]　当q＝1时，S3＝3a1＝3a3符合题意；
当q≠1时，S3＝＝3a1q2.
∵a1≠0，
∴1－q3＝3q2(1－q)．
由1－q≠0，两边同时约去1－q，得
1＋q＋q2＝3q2，
即2q2－q－1＝0，解得q＝－.
综上，公比q＝1，或q＝－.
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
[答案]　C
[解析]　∵＝q3＝，∴q＝.
∴an·an＋1＝4·()n－1·4·()n＝25－2n，
故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n
＝＝(1－4－n)．
5．(2014·大纲全国卷文，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)
A．31 B．32
C．63 D．64
[答案]　C
[解析]　解法1：由条件知：an>0，且
∴∴q＝2.
∴a1＝1，∴S6＝＝63.
解法2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.
6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)
A．7 B．9
C．63 D．7或63
[答案]　D
[解析]　由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，
即(21－S10)2＝S10(49－21)，
∴S10＝7或63.
二、填空题
7．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．
[答案]　127
[解析]　设数列{an}的公比为q(q>0)，
则有a5＝a1q4＝16，
∴q＝2，数列的前7项和为S7＝＝＝127.
8．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________.
[答案]　5
[解析]　由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得⇒2n＝32⇒n＝5.
三、解答题
9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
[解析]　(1)由题设，知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得
＝，
解得d＝1，或d＝0(舍去)．
故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[解析]　(1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，
∴q＝1不满足题意．
∴＝a1＋，
解得q＝－.
(2)由(1)知q＝，
又a1－a3＝a1－a1q2＝a1＝3，
∴a1＝4.
∴Sn＝＝[1－(－)n].
一、选择题
1．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为(　　)
A．21 B．42
C．63 D．84
[答案]　D
[解析]　∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，
又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7，
∵an>0，∴q>0，∴q＝2，
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.
2．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．2或－1
[答案]　C
[解析]　S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.
3．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是(　　)
A．1 061 B．1 023
C．1 024 D．268
[答案]　B
[解析]　由a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9，
∴＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝1 023.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　)
A．　 B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　{an}是正数组成的等比数列，∴a3＝＝1，又S3＝7，∴，消去a1得，＝7，解之得q＝，∴a1＝4，∴S5＝＝.
二、填空题
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
[答案]　3
[解析]　若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，
∴＝4·，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.
∴a4＝a1q3＝3.
6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
[答案]　2
[解析]　由题意，得，
解得S奇＝－80，S偶＝－160，
∴q＝＝＝2.
三、解答题
7．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，首项a1＝.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)由已知S3＝a1＋a2＋a3＝，＋q＋q2＝.
q2＋q－6＝0，
(q＋3)(q－2)＝0
q＝2或q＝－3.(舍)
∴an＝a1·qn－1＝2n－2.
(2)bn＝6n－61＋log22n－2
＝6n－61＋n－2＝7n－63.
bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，
∴数列{an}是等差数列．
又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋n(n－1)×7
＝－56n＋n(n－1)×7
＝n2－n.
8．(2014·北京文，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.
所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.