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课时提升作业 三
三个正数的算术-几何平均不等式
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.函数y=x2·(1-5x)的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为0≤x≤,
所以1-5x≥0,
所以y=x2·(1-5x)=≤
=.
当且仅当x=1-5x,即x=时取“=”.
2.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则++的最小值为 ( )
A.9 B.12
C.6-2 D.6+4
【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以++=(a+2b+c) =4++++++≥4+2+2+2=6+4,当且仅当a=c=b时等号成立.
所以++的最小值是6+4.
3.(2016·商丘高二检测)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为 ( )
A.-1 B.+1
C.2+2 D.2-2
【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-2
即(a+b)(a+c)=4-2,又a,b,c>0
所以(a+b)(a+c)≤=
所以2a+b+c≥2-2.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,则++的最小值为________.
【解析】因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,
所以++=(a+2b+3c)·≥3·3=9,当且仅当a=2b=3c=时取等号.因此++的最小值为9.
答案:9
5.(2016·唐山高二检测)已知x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为________.
【解析】因为x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,
所以6=x+3y+4z=++y+y+y+4z
≥6·,
所以x2y3z≤1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.若a,b,c>0,
求证:a2+b2+c2+≥6.
【证明】因为a,b,c>0,
所以a2+b2+c2≥3· ①
又++≥3·,
所以≥9· ②
a2+b2+c2+
≥3·+9·
≥2·=6,当且仅当a=b=c时等号成立.
7.(2016·哈尔滨高二检测)设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求+的最小值.
【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1,
所以+=+=1++≥1+2=7,
当且仅当=,
即x+y=,y+z=时,取等号.
所以+的最小值为7.
8.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.
【解析】由平均不等式,得4a+4b+≥
3=3(当且仅当a=b=c2时等号成立).
因为a+b+c=1,
所以a+b=1-c,
则a+b+c2=c2-c+1=+,
当c=时,a+b+c2取得最小值.
从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·温州高二检测)若logxy=-2,则x+y的最小值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为logxy=-2,
所以x>0且x≠1,y>0,且y=x-2,
所以x+y=++≥3=,
当且仅当=,即x=时等号成立.
2.如果圆柱的轴截面周长l为定值,那么圆柱的体积最大值是 ( )
【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h,
则l=4r+2h,即2r+h=,
V=πr2h≤π=π.
当且仅当r=h=时等号成立.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知0
则x2(1-2x)=x·x(1-2x)≤==.当且仅当x=1-2x,即x=时等号成立.故x2(1-2x)的最大值为.
答案:
【拓展延伸】用平均不等式求最值
(1)利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果.
(2)在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力.
(3)“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.
(4)当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.
4.(2016·天津高二检测)已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.
【解析】2x+=(x-a)+(x-a)++2a
因为x-a>0,
所以2x+≥3+2a=3+2a.
当且仅当x-a=,即x=a+1时,取等号.
所以2x+的最小值为3+2a,
由题意可得3+2a≥7,解得a≥2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知a,b,c同号,且互不相等,a+b+c=1,求证:++>9.
【证明】++=++
=3++++++,
因为a,b,c同号,且a+b+c=1,
所以a>0,b>0,c>0,
所以,,,,,均大于0,
又a,b,c互不相等,
所以3++++++
>3+6=9.
所以++>9.
【补偿训练】设a,b,c为正实数,求证:+++abc≥2.
【证明】因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得++≥3
即++≥,
所以+++abc≥+abc,
而+abc≥2=2,
所以+++abc≥2.
当且仅当a=b=c时取等号.
6.有一块边长为36cm的正三角形铁皮,从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器,要使这个容器的容积最大,剪下的三个四边形面积之和等于多少?最大容积是多少?
【解析】剪下的三个全等的四边形如图所示,设A1F1=xcm,则AF1=xcm,
所以A1B1=F1F2=36-2x.
所以V=(36-2x)2·x
=(6-x)(6-x)·2x.
因为0
又(6-x)+(6-x)+2x=12,
所以当6-x=2x,
即x=2时,V有最大值,
这时V最大=·(4)3=864(cm3).
因为=x·x=x2=12(cm2),
所以此时三个四边形面积之和等于36cm2.
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