第四讲 数学归纳法证明不等式
4.1 数学归纳法
A级 基础巩固
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.
所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：D
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：边数最少的凸n边形是三角形．
答案：C
3．在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1.依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．3n－2 B．n2
C．3n－1 D．4n－3
解析：由条件知：a2＝a1＋2×2－1＝22，
a3＝a2＋2×3－1＝32，
a4＝a3＋2×4－1＝42，猜想an＝n2.
答案：B
4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得当n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取什么值无关
D．以上答案都不对
解析：由题意当n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立．
答案：B
5．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 011次操作后得到的数是( )
A．25 B．250 C．55 D．133
解析：根据第1次，第2次操作规律，可知第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，操作后得到的数呈周期性变化，周期为3次，2 011＝670×3＋1，故第2 011次操作后得到的数是133.
答案：D
二、填空题
6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
解析：因为n＝k时，
命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
所以n＝k＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，
又考虑到目的，最终应为2k＋1－1.
答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
7．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．
解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212.
答案：212
8．用数学归纳法证明“n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是________，从k到k＋1时需添加的项是________．
答案：1＋2＋22＋23＋24，25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，
右边＝＝.
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即…＝(k≥2，k∈N＋)．
当n＝k＋1时，
…＝
·＝＝＝，
所以当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．
10．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除．
证明：(1)当n＝1时，左边＝13＋5×1＝6，能被6整除，结论正确．
(2)假设当n＝k时，结论正确，即k3＋5k能被6整除．
则(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)，
因为k3＋5k能被6整除，(k＋1)(k＋2)必为偶数，3(k＋1)(k＋2)能被6整除，
因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被6整除．
即当n＝k＋1时结论正确．
根据(1)(2)可知，n3＋5n对于任何n∈N＋都能被6整除．
B级 能力提升
1．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)．
当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋1](k＋1)＋2]…(k＋1)＋k]·(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．
比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．
答案：B
2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为_______________．
解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81·34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1
答案：81· (34k＋1＋52k＋1)－56·52k＋1
3．已知正数数列{an}中，前n项和Sn＝.
(1)求a1，a2，a3，a4；
(2)推测{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解：(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－，a4＝－.
(2)an＝－
①a1＝1，a2＝－1，a3＝－，a4＝－.
②猜想an＝－(n∈N＋)．
(ⅰ)当n＝1时，a1＝－＝1，结论成立；
(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)成立，
即ak＝－.
则ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－＝
－，
整理得(ak＋1＋)2＝k＋1，
所以ak＋1＝－.
综合(ⅰ)(ⅱ)知， an＝－对所有正整数n都成立．