课时跟踪检测(四) 相似三角形的性质
一、选择题
1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，则DB等于( )
A．2 cm B．6 cm C．4 cm D．8 cm
解析：选D 由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，
∴＝，∴＝＝.
∴DB＝4×2＝8(cm)．
2.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，AE交对角线BD于点G，且△BEG的面积是1 cm2，则▱ABCD的面积为( )
A．8 cm2 B．10 cm2
C．12 cm2 D．14 cm2
解析：选C 因为AD∥BC，所以△BEG ∽△DAG，
因为BE＝EC，所以＝＝.
所以＝2＝，
即S△DAG＝4S△BEG＝4(cm2)．
又因为AD∥BC，所以＝＝2，
所以＝＝2，
所以S△BAG＝2S△BEG＝2(cm2)，
所以S△ABD＝S△BAG＋S△DAG＝2＋4＝6(cm2)，
所以S▱ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12(cm2)．
3．如图所示，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
解析：选D ∵△CBF∽△CDE，
∴＝.
∴BF＝＝＝1.8.
4．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是( )
A．10 B．12 C．16 D．18
解析：选C ∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝＝.
∴＝＝.
∴EF＝AB＝×20＝16.
二、填空题
5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD中，点E 在AB 上且EB＝2AE，AC 与DE交于点F, 则＝________.
解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，
于是＝＝＝3.
答案：3
6．如图，在△ABC中有一个矩形EFGH，其顶点E，F分别在AC，AB上，G，H在BC上，若EF＝2FG，BC＝20，△ABC的高AD＝10，则FG＝________.
解析：设FG＝x，因为EF＝2FG，所以EF＝2x.
因为EF∥BC，所以△AFE∽△ABC，
所以＝，即＝，
解得x＝5，即FG＝5.
答案：5
7．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40 cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________．
解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD，
所以△ABE∽△DBA.
所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
因为S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
所以AB∶DB＝1∶.
设AB＝k cm，DB＝k cm，
则AD＝2k cm.
因为S矩形ABCD＝40 cm2，
所以k·2k＝40，所以k＝2(cm)．
所以BD＝k＝10 (cm)，AD＝4(cm)．
又因为S△ABD＝BD·AE＝20，
所以·10·AE＝20.
所以AE＝4(cm)．
答案：4 cm
三、解答题
8．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AB的中点，E是AC上的点，BE，CD交于点M.若AC＝3AE，求∠EMC的度数．
解：如图，作EF⊥BC于点F，
设AB＝AC＝3，
则AD＝，BC＝3，
CE＝2，EF＝FC＝.
∴BF＝BC－FC＝2.
∴EF∶BF＝∶2＝1∶2＝AD∶AC.
∴△FEB∽△ADC，∴∠2＝∠1.
∵∠EMC＝∠2＋∠MCB，
∴∠EMC＝∠1＋∠MCB＝∠ACB＝45°.
9.如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD.
∴∠ABF＝∠E.
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝2＝，
＝2＝.
∵S△DEF＝2，
∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.
∴S▱ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB的高度，甲在操场上C处直立3 m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m；丙在C1处也直立3 m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6 m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1＝4 m，求旗杆AB的高．
解：设F1F与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，
GB＝x m，GM＝y m.
因为MD∥GB，
所以∠BGF＝∠DMF，∠GBF＝∠MDF，
所以△BGF∽△DMF，
所以＝.
又因为MD＝CD－CM＝CD－EF＝1.5 (m)，
所以＝.①
又因为ND1∥GB，同理可证得△BGF1∽△D1NF1，
所以＝，
即＝.②
解方程①②组成的方程组，得
又AB＝GB＋GA＝9＋1.5＝10.5(m)，
即旗杆AB的高为10.5 m.