学业分层测评（十四）
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[学业达标]
一、选择题
1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( )
A．1 B．0 C．1或0 D．－1
【解析】 因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
【答案】 A
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，
∴
∴
解得a1＝，故选C.
【答案】 C
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190 B．191 C．192 D．193
【解析】 设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，
解得a1＝192.
【答案】 C
4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为( )
A．2n B．2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
【解析】 法一 特殊值法，由原数列知S1＝1，S2＝4，在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有答案D.
法二 看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.
∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2.
【答案】 D
5．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A．35 B．33
C．31 D．29
【解析】 设数列{an}的公比为q，
∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1，
∴a4＝2.
又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3
＝2×，
∴q＝.
∴a1＝＝16，S5＝＝31.
【答案】 C
二、填空题
6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
【解析】 ∵在等比数列{an}中，前3项之和等于21，
∴＝21，
∴a1＝1，∴an＝4n－1.
【答案】 4n－1
7．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
【解析】 法一 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.
法二 因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.
【答案】 15
8．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
【解析】 ∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.
【答案】 6
三、解答题
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. 【导学号：05920072】
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
【解】 (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，
故a1＝4.
从而Sn＝＝.
10．(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解】 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，bn＝bn＋1－bn.
整理得＝，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
[能力提升]
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
【解析】 a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)．
【答案】 D
2．如图251，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为( )
图251
A. B.π
C．2π D．3π
【解析】 根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π.
【答案】 B
3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
【解析】 每天植树棵数构成等比数列{an}，
其中a1＝2，q＝2，则Sn＝＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102，∴n≥6，∴最少天数n＝6.
【答案】 6
4．(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解】 (1)由题意有
即
解得或
故或
(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.