第一讲 坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
A级 基础巩固
一、选择题
1．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：ρ＝＝2，tan θ＝＝，θ＝，所以点M的柱坐标为.
答案：C
2．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
因为点M的球坐标为，
所以x＝1·sin cos ＝，
y＝1·sin sin ＝，
z＝1·cos ＝.
所以M的直角坐标为.
答案：B
3．已知点P的柱坐标为，点Q的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A．点P(5，1，1)，点Q
B．点P(1，1，5)，点Q
C．点P，点Q(1，1，5)
D．点P(1，1，5)，点Q
答案：B
4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：因为M点的柱坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)．
所以x＝3cos ＝，y＝3sin ＝，z＝3，
所以M点的直角坐标为.
设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．
γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．
所以r＝ ＝3，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为，
可知cos θ＝＝＝，
所以θ＝，
所以M点的球坐标为.
答案：B
5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，
则ρ＝＝2，tan θ＝＝＝1，
因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，
所以θ＝，
所以所求柱坐标为.
答案：C
二、填空题
6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．
答案：(－2，2，2)
7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
答案：3
8．若点P的柱坐标为，则点P的球坐标为___________．
解析：点P的柱坐标为，
则点P的直角坐标为，
故r＝ ＝3.
由3＝3cos φ，cos φ＝，得φ＝，
又tan θ＝＝，又θ的终边过点，
故θ为，
故点P的球坐标为.
答案：
三、解答题
9．设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解：由坐标变换公式，可得ρ＝＝，
tan θ＝＝1，
θ＝(点1，1)在平面xOy的第一象限．
r＝＝＝2.
由rcos φ＝z＝(0≤φ≤π)，得cos φ＝＝，φ＝.
所以点M的柱坐标为，球坐标为.
10．在球坐标系中，求两点P、Q的距离．
解：将P，Q两点的球坐标转化为直角坐标：
P：x＝3sin cos ＝，
y＝3sin sin ＝，
z＝3cos ＝，
所以点P的直角坐标为.
Q：x＝3sin cos ＝－，
y＝3sin sin ＝，
z＝3cos ＝，
所以点Q的直角坐标为.
所以|PQ|＝＝，故P、Q两点间的距离为.
B级 能力提升
1．已知点P1的球坐标为，P2的柱坐标为，则|P1P2|＝( )
A. B.
C. D．4
解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，
则得
故P1(2，－2，0)，
设点P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)，
故得
故P2(，1，1)．
则|P1P2|＝ ＝.
答案：A
2．在柱坐标系中，长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8，0，10)，C1，则此长方体外接球的体积为________．
答案：π
3．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．
解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，
如图所示，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，
∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°，
这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．
则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，
所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.
因为OB＝R，O′B＝O′A＝R，
所以AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.
所以∠AOB＝60°，＝×2πR＝πR.
即A，B两点间的球面距离为πR.