学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为( )
A．5－3i B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
【解析】 (6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)
＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i
＝7－8i.
【答案】 C
2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝( )
A. B．2
C. D．4
【解析】 由复数减法运算的几何意义知，
对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，
∴||＝2.
【答案】 B
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【解析】 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故
解得a＝－3，b＝－4.
【答案】 A
4．(2016·石家庄高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
【答案】 B
5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ∵z＝3－4i，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i
＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.
【答案】 C
二、填空题
6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_______________________.
【导学号：19220046】
【解析】 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
【答案】 16i
7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________.
【解析】 设z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝＝1，解得b＝1，
∴z＝i.
【答案】 i
8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
【解析】 |z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.
【答案】 2＋1
三、解答题
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，且z1－z2＝4，求复数z＝a＋bi.
【解】 z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i，
∴
解得
∴z＝2＋i.
10．如图323，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
图323
【解】 法一：设正方形的第四个点D对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，
∴＝－对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，
＝－对应的复数为
(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
∵＝，
∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
即解得
故点D对应的复数为2－i.
法二：∵点A与点C关于原点对称，
∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，
∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.
[能力提升]
1．(2016·昆明高二检测)实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
【解析】 z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
∴
∴x＝y＝1，∴xy＝1.
【答案】 A
2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( )
【导学号：19220047】
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
【解析】 由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．
【答案】 D
3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．
【解析】 由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.
而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，
所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.
【答案】 7
4．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解】 (1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
∴，，对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
∴＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)．
∴＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，
＝－＝(－3,1)．
即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.
(2)∵||＝＝，||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝10＝||2.
又∵||≠||，
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.