（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V1和V2,则V1∶V2=( )
A.1∶3 B.1∶1
C.2∶1 D.3∶1
解析:V1∶V2=(Sh)∶=3∶1.
答案:D
2.将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的( )
A. B. C. D.
答案:B
3.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于( )
A.6 B.6π
C.3π D.6π
解析:圆台的两底面半径分别是1,2,高为2,
则母线长为,
则其侧面积等于π(1+2)×=3π.
答案:C
4.(2015福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )
A. 8+2 B.11+2
C.14+2 D.15
答案:B
5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A. B. C. D.
解析:设正方形的边长为a,圆柱的底面圆的半径为r,则2πr=a,r=,所以圆柱的底面积为,侧面积为a2,全面积与侧面积的比是.
答案:D
6.一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于( )
A.4 B.8 C.8 D.8
解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则
S球=4πR2=4π,∴R=1.
又∵正方体内接于球,∴x=2R=2,
∴x=,∴S正=6x2=6×=8.
答案:B
7.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为( )
A.a3 B.a3
C.a3 D.a3
解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a3.
答案:C
8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )
A.π B.4π
C.4π D.6π
解析:
9.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A.9π
B.10π
C.11π
D.12π
答案:D
10.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为( )
A. B. C.8π D.
解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为πR3=.
答案:D
11.(2015安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
A.1+ B.1+2
C.2+ D.2
解析:
由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+.
答案:C
12.(2016浙江嘉兴一中高二期中)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是( )
答案:C
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 .
解析:
由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为r,高为h,
则
解得
故它的体积为×π×12×.
答案:
14.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为 .
解析:S柱=2×π+2π··a=πa2,
S锥=π+π··a=πa2.∴S柱∶S锥=2∶1.
答案:2∶1
15.
如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .
16.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为 .
解析:
作经过球心的截面(如图),
O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,
则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,
V=(32++42)×7=.
答案:
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.
解:
∴,即,
∴r=1.
S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=2π.
∴S=S底+S侧=2π+2π=(2+2)π.
18.已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积.
解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,
故三棱锥V-ABC的表面积为
3S△VBC+S△ABC=3+3=3().
19.已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.
解:
如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.
∵OE=2 cm,∠OPE=30°,
∴PE=2OE=4 cm.
因此S侧=4×PE×BC=4××4×4=32(cm2),S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).
20.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表面积.
解:
设球心为O,球半径为R,△ABC外接圆的圆心为M,
21.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,
∴V圆锥=πr2h.
球的半径为r,
∴V球=πr3.
又h=2r,
∴V圆锥∶V球∶V圆柱=∶(πr2h)=∶(2πr3)=1∶2∶3.
22.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.
解: