第二章 2.4 第2课时
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝( )
A．27 B．27或－27
C．81 D．81或－81
[答案] B
[解析] ∵q2＝＝9，∴q＝±3，
因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27.故选B．
2．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
[答案] A
[解析] 设bn＝a，则＝＝()2＝q2，
∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数；
当an<0时lgan无意义；设cn＝nan，
则＝＝≠常数．
3．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则等于( )
A．－或－ B．
C． D．或
[答案] D
[解析] a2a10＝a5a7＝6.
由，得或.
∴＝＝或.故选D．
4．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
[答案] D
[解析] 消去a得：4b2－5bc＋c2＝0，
∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.
5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( )
A．210 B．220
C．216 D．215
[答案] B
[解析] 设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
[答案] B
[解析] 设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.
所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4.
两式相乘得，aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.
又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝aq＝64，
即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.
二、填空题
7．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
[答案]
[解析] 解法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5，
b＝1×4＝4，且b2与1,4同号，
∴b2＝2.
∴＝.
解法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
∵1＋3d＝4，∴d＝1，∴a1＝2，a2＝3.
∵q4＝4.∴q2＝2.∴b2＝q2＝2.
∴＝＝.
8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
[答案] 16
[解析] ∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a
＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.
∴b6b8＝b＝16.
三、解答题
9．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
[解析] 由题意设此四个数为，b，bq，a，
则有，解得或.
所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
10．已知数列{an}为等比数列，
(1)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求项数n.
[解析] (1)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，故q＝±.
(2)由a3＋a6＝(a2＋a5)·q，得9＝18q，故q＝.
又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，解得a1＝32.再由an＝a1qn－1，得1＝32×()n－1，解得n＝6.
一、选择题
1．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是( )
A．1 B．
C． D．
[答案] A
[解析] a4＝a3q＝a3·＝×＝＝1.
2．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
[答案] A
[解析] 解法一：a＝log23，b＝log26＝log2 3＋1，
c＝log2 12＝log2 3＋2.
∴b－a＝c－B．
解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A．
3．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于( )
A．32 B．34
C．66 D．64
[答案] C
[解析] 依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C．
4．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是( )
A．4 B．2
C． D．
[答案] D
[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．
二、填空题
5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．
[答案] 3或27
[解析] 设此三数为3、a、b，则，
解得或.
∴这个未知数为3或27.
6．a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则三数为__________．
[答案] 4,12,36
[解析] ∵a，b，c成等比数列，公比q＝3，∴b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列，∴2b＋16＝a＋c，
即6a＋16＝a＋9a，∴a＝4，∴三数为4,12,36.
三、解答题
7．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
[解析] 设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6D．
由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
8．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
[解析] (1)由Sn＝kn2＋n，
得a1＝S1＝k＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.
经验证，n＝1时，上式也成立，
∴an＝2kn－k＋1.
(2)∵am，a2m，a4m成等比数列，
∴a＝am·a4m，
即(4mk－k＋1)2
＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
整理得mk(k－1)＝0.
∵对任意的m∈N*成立，
∴k＝0或k＝1.