一、等比数列性质的应用
1.若{an}是等比数列,那么( )
A.数列是等比数列 B.数列{}是等比数列
C.数列{}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列
答案:A
解析:由等比数列的定义判断即可.
2.在等比数列{an}中,a2 013=8a2 010,则公比q的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案:A
解析:∵a2013=8a2010,∴a2010q3=8a2010.
∴q3=8.∴q=2.
3.已知项数相同的等比数列{an}和{bn},公比分别为q1,q2(q1,q2≠1),则数列①{3an};②;③{};④{2an-3bn};⑤{2an·3bn}中等比数列的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:在①中,=q1,是等比数列;在②中,,是等比数列;在③中,令an=2n-1,则数列{}为3,32,34,…,因为,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤中,=q1·q2,是等比数列.
4.(2015山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
A.5 B.7 C.6 D.4
答案:A
解析:a1a2a3=5⇒=5;
a7a8a9=10⇒=10.
=a2a8,∴=50,
∴a4a5a6==5.故选A.
5.(2015河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,则2a7+a11的最小值为( )
A.16 B.8 C.2 D.4
答案:B
解析:∵各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,
∴a4·a14=(2)2=8,
∴a7·a11=8,
∵a7>0,a11>0,
∴2a7+a11≥2=2=8.故选B.
二、等差、等比数列的综合问题
6.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.
答案:A
解析:因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+d=n(n+1).
7.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .
答案:1
解析:设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,所以(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,故q==1.
8.已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为 .
答案:2.5
解析:∵a1+a2=1+4=5,
=1×4=4,且b2与1,4同号,∴b2=2,
∴=2.5.
9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000.求此四个数.
解:设前三个数分别为a-d,a,a+d,
(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.
再设后三个数分别为,b,bq,
则有·b·bq=b3=8000,即b=20.
∴四个数分别为m,16,20,n.
∴m=2×16-20=12,n==25,
即这四个数分别为12,16,20,25.
10.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.
(1)求a1和d的值;
(2)b16是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
解:(1)由题意得
所以
两式相除,得3==d6+d3+1,
解得d3=-2或d3=1(舍去).
所以d=-,代入得a1=-d=.
(2)b16=a1d15=×(-)15=-32,
an=a1+(n-1)d=+(n-1)×(-)
=-n+2.
令an=-32,得-n+2=-32,解得n=34∈N*,故b16是数列{an}中的第34项.
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1.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值为( )
A.48 B.72 C.144 D.192
答案:D
解析:∵=q9=8(q为公比),
∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.
2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案:A
解析:∵a3a11==16,且an>0,∴a7=4.
又a7=a5·q2=4a5,∴a5=1.
3.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a4+a5等于( )
A.33 B.84 C.72 D.189
答案:B
解析:由条件得,4a1+(a1q2)=2×(2a1q),
即(q-2)2=0,∴q=2.
∴a3+a4+a5=3×(22+23+24)=84.
4.等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积为( )
A.216 B.-216 C.217 D.-217
答案:D
解析:∵数列{an}为等比数列,∴a1a2a3…a17=.
又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217.
5.已知1
C.各项倒数成等差数列 D.以上都不对
答案:C
解析:由已知b2=ac.∴lognb2=lognac.
∴2lognb=logna+lognc.
∴,
即成等差数列.
6.已知数列{an}是等比数列,公比q>1,且a1+a6=8,a3a4=12,则= .
答案:3
解析:由已知a3a4=12得a1a6=12,
又∵a1+a6=8.当q>1时,解得a1=2,a6=6.
又∵a1a11=,∴=3.
7.在等比数列{an}中,若an>0,a1·a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100= .
答案:100
解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lga1+lga2+lga3+…+lga100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg10050=lg10100=100.
8.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= .
答案:16
解析:∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,
∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8==16.
9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为12,求这三个数.
解:设这三个数为a-d,a,a+d,
则(a-d)+a+(a+d)=12,所以a=4.
所以这三个数可以表示为4-d,4,4+d.
①若4-d为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得d=12,或d=0(舍去).
此时,这三个数是-8,4,16.
②若4+d为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得d=-12,或d=0(舍去).
此时,这三个数是16,4,-8.
③若4为等比中项,则有42=(4-d)×(4+d),
解得d=0(舍去),
综上所述,这三个数是-8,4,16或16,4,-8.
10.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一,求a的值.
解:(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.
由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-.
∴{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)设{an}的公比为q,
则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),
得aq2-4aq+3a-1=0(*).
由a>0得Δ=4a2+4a>0,
故方程(*)有两个不同的实根.
由{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,
代入(*)得a=.