第一讲 不等式和绝对值不等
1.2 绝对值不等式
1.2.1 绝对值三角不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，则下列不等式中一定成立的是( )
A．|x－y|＜ε B．|x－y|＜2ε
C．|x－y|＞2ε D．|x－y|＞ε
解析：|x－y|＝|x－m－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜2ε.
答案：B
2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( )
A．|a＋b|＞a－b B．2≤|a＋b|(ab＞0)
C．|a＋b|≤|a|＋|b| D.≥2
解析：令a＝1，b＝－1，则A不成立．
答案：A
3．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h，且|b－1|＜h，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：显然a与b的距离可以很近，满足|a－b|＜2h，但此时a，b与1的距离也可以最大，因此甲不能推出乙；若|a－1|＜h，|b－1|＜h，则|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，乙可以推出甲．
因此甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
4．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )
A．2 B.
C．4 D．6
解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4－(x－6)|＝2.
故最小值为2.
答案：A
5．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( )
A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a|| D．b＜|a|－|c|
解析：由|a－c|＜b知b＞0，所以b＝|b|.
因为|a|－|c|≤|a－c|，
所以|a|－|c|＜b，即|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|，故A成立．
同理由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|＜b.
所以|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|，故B成立．
而由A成立得|c|－|a|＞－|b|，
由B成立得|c|－|a|＜|b|，所以－|b|＜|c|－|a|＜|b|，
即||c|－|a||＜|b|＝b，故C成立．
故由A成立知D不成立．
答案：D
二、填空题
6．若不等式|x－4|＋|x－3|＞a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，
得(|x－4|＋|x－3|)min＝1，
故a的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
7．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝|x－4|＋|x－3|，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值．
因为|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1，
即f(x)max＝1，所以a≥1.
答案：1，＋∞)
8．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最大值是________．
解析：|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.
答案：5
三、解答题
9．(2014·课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)，证明：f(x)≥2.
证明：由a＞0，有
f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.
所以f(x)≥2.
10．求函数f(x)＝|x－5|－|x＋3|的最大值，并求出取最大值时x的范围．
解：f(x)＝|x－5|－|x＋3|≤|(x－5)－(x＋3)|＝8，
当且仅当(x－5)(x＋3)≤0，即－3≤x≤5时等号成立，
所以当－3≤x≤5时，f(x)＝|x－5|－|x＋3|取得最大值为8.
B级 能力提升
1．设集合{x|x－3|－|x－4|＞m}≠∅，则实数m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m≥1
C．m＜1 D．m≤1
解析：|x－3|－|x－4|≤|x－3－(x－4)|＝1.集合非空即|x－3|－|x－4|＞m有解，所以m＜1.
答案：C
2．以下三个命题：
(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
(3)若|x|＜2， |y|＞3，则＜.
其中正确的有________个．
解析：(1)因为|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1，所以(1)正确．(2)因为|a＋b|－2|a|≤|a＋b－2a|＝|b－a|＝|a－b|，所以(2)正确．(3)因为|x|＜2，|y|＞3，所以＜，所以(3)正确．
答案：3
3．x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，求x＋y的取值范围．
解：因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，
当且仅当0≤x≤1时取等号，
|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当0≤y≤1时取等号，
所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2.①
又因为|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，②
所以只有当0≤x≤1，0≤y≤1时，①②两式同时成立．
所以0≤x＋y≤2.