课时跟踪检测(一) 平行线等分线段定理
一、选择题
1．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于( )
A．2.5 B．3 C．3.5 D．不确定
解析：选B 由梯形中位线定理知选B.
2．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
解析：选A ∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD.
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，
即BF＝FD.
又DC＝BD，
∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
3．梯形的中位线长为15 cm，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )
A．12 cm 18 cm B．20 cm 10 cm
C．14 cm 16 cm D．6 cm 9 cm
解析：选A 如图，设MP∶PN＝2∶3，则MP＝6 cm，PN＝9 cm.
∵MN为梯形ABCD的中位线，在△BAD中，MP为其中位线，
∴AD＝2MP＝12 cm.
同理可得BC＝2PN＝18 cm.
4．梯形的一腰长为10 cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为 ( )
A．30 cm2 B．40 cm2 C．50 cm2 D．60 cm2
解析：选D 如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，
AE＝ABsin 30°＝5 cm.
又已知梯形的中位线长为12 cm，
∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．
∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE＝×5×24＝60 (cm2)．
二、填空题
5．如图，在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．
解析：如图，过A作直线AM平行于A1C，过D作直线DN平行于BC2，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理知，A1C，A2C1，BC2把AD分成四条线段的长度相等．
答案：相等
6．如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2 cm，则AC＝______；若BD＝10 cm，则EF＝________.
解析：由E是AB的中点，EF∥BD，得F为AD的中点．
由EG∥AC，得EG＝AD＝FD＝2 cm，
结合CD＝AD，
可以得到F，D是AC的三等分点，
则AC＝3EG＝6 cm.
由EF∥BD，得EF＝BD＝5 cm.
答案：6 cm 5 cm
7．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝________；若PM＝1 cm，则PC＝________.
解析：由AD⊥BC，AB＝AC，知BD＝CD，
又DN∥CP，
∴BN＝NP，
又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，
∴AP＝AB＝2 cm.
易知PM＝DN，DN＝PC，
∴PC＝4PM＝4 cm.
答案：2 cm 4 cm
三、解答题
8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE，CD交于点F.
求证：F是CD的中点．
证明：如图，
过D作DG∥AE交BC于G，
在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE，
∴BG＝GE.
∵E是BC的三等分点，
∴BG＝GE＝EC.
在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF，
∴DF＝CF，
即F是CD的中点．
9.如图，在等腰梯形中，AB∥CD，AD＝12 cm，AC交梯形中位线EG于点F，若EF＝4 cm，FG＝10 cm.求此梯形的面积．
解：作高DM，CN，
则四边形DMNC为矩形．
∵EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG∥DC∥AB.
∴F是AC的中点．
∴DC＝2EF＝8，AB＝2FG＝20，
MN＝DC＝8.
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC，
∴△ADM≌△BCN.
∴AM＝BN＝(20－8)＝6.
∴DM＝＝＝6.
∴S梯形＝EG·DM＝14×6＝84 (cm2)．
10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.
求证：EF＝FC.
证明：法一：如图，连接BE交AF于点O.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BO＝OE.
又∵AF∥BC，
∴EF＝FC.
法二：如图，
延长ED交BC于点H.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥ED，AB∥DH，
AB＝ED.
又∵AF∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴AB＝DH.
∴ED＝DH.
∴EF＝FC.
法三：如图，延长EA交CB的延长线于点M.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥EA，AE＝BD.
又∵AD∥BC.
∴四边形AMBD是平行四边形．
∴AM＝BD.
∴AM＝AE.
∴EF＝FC.