3.4 基本不等式：≤(二)
课时目标
1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
一、选择题
1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为( )
A．－3B．3C．4D．－4
答案 B
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2B．4C．16D．不存在
答案 B
解析 ∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．
3．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1
答案 D
解析 f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．
4．函数y＝的最小值为( )
A．2B.C．1D．不存在
答案 B
解析 y＝＝＋
∵≥2，而≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．
∴当＝2即x＝0时，ymin＝.
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3B．4C.D.
答案 B
解析 ∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤()2.
∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.
当x＝2，y＝1时取等号．
6．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3B.C．4D.
答案 C
解析 2＋2
＝x2＋y2＋＋＋
＝＋＋≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
二、填空题
7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
答案 9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥
2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，
函数y＝取得最小值为9.
8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．
答案 9
解析 ∵a＋b－ab＋3＝0，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.
令＝t，则t2≥2t＋3.
解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.
∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．
9．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
答案 1760
解析 设水池的造价为y元，长方形底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为m．那么
y＝120·4＋2·80·＝480＋320
≥480＋320·2＝1760(元)．
当x＝2，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元．
10．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 ∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
三、解答题
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解 方法一 ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，∴＋≥2＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二 由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1
＝(y－9)＋＋10.
∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．
又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
解 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N*)．
由基本不等式知y≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
能力提升
13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈MB．2∉M,0∉MC．2∈M,0∉MD．2∉M,0∈M
答案 A
解析 ∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.
∵＝＝(1＋k2)＋－2≥2－2.
∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，∴2∈M,0∈M.
14．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______．
答案
解析 ∵≤成立，
∴＋≤·，∴a≥.
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．