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课堂10分钟达标练
1.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于 ( )
A.4 B.2 C.1 D.4
【解析】选C.因为+y2=1中a2=4，b2=1，
所以c2=3，所以右焦点坐标F(，0)，
将x=代入+y2=1得，y=±，故|AB|=1.
2.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.
3.椭圆+=1中，以点M(-1，2)为中点的弦所在的直线斜率为 ( )
A. B. C. D.-
【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①-②得
+=0，
又因为弦中点为M(-1，2)，
所以x1+x2=-2，y1+y2=4，
所以+=0，
所以k==.
4.已知点M(，0)，椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A，B，则△ABM的周长为________.
【解析】因为直线过椭圆的左焦点(-，0)，所以△ABM的周长为|AB|+|AM|+|BM|=4a=8.
答案：8
5.设椭圆C：+=1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.
(1)求C的方程.
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
【解析】(1)将(0，4)代入C的方程得=1，所以b=4.
又由e==，得=，
即1-=，所以a=5.
所以C的方程为+=1.
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得
+=1，即x2-3x-8=0，
x1+x2=3.
设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，
则x′==，
y′==(x1+x2-6) =-，
即中点坐标为.
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