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[学业达标]
一、选择题
1．(2016·潍坊高二检测)如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
【答案】 D
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3．(2016·合肥高二月考)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
【解析】 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
【答案】 B
4．椭圆mx2＋ny2＝－mn(m
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
【解析】 将mx2＋ny2＝－mn(m
【答案】 C
5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
即|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形．
【答案】 B
二、填空题
6．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.
【答案】 3
7．已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．
【解析】 法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0)．
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为
＋＝1(a>b>0)，
则
解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，
从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
【解析】 如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1，0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝16
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．
10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号：18490043】
【解】 (1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[能力提升]
1．“0
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 曲线＋＝1表示椭圆等价于
得t∈∪.故选B.
【答案】 B
2．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
【解析】 由已知F1(－3，0)，F2(3，0)，
由条件，知P，即|PF2|＝.
由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.
所以|PF1|＝.
所以|PF1|＝7|PF2|.
【答案】 A
3．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．
【解析】 由条件可取F1(－3，0)，∵PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，由P在椭圆＋＝1上得y0＝±，
∴M的坐标为.
【答案】 ±
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图223)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程.
【导学号：18490044】
图223
【解】 由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，
∴|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos⇒
m＝.
在△F1F2A中，同理可得m＝，
所以＝，解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.