学业分层测评(十四)
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[达标必做]
一、选择题
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
【解析】 因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，
所以l⊥平面ABC.
同理可证m⊥平面ABC，
所以l∥m，故选C.
【答案】 C
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【解析】 A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
【答案】 D
3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
【解析】 选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.
【答案】 D
4．(2016·蚌埠高二检测)如图2342，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )
图2342
A．PD⊥BD B．PD⊥CD
C．PB⊥BC D．PA⊥BD
【解析】 若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；
因为PA⊥矩形ABCD，
所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC.
因为PA⊥矩形ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.
【答案】 A
5．如图2343所示，三棱锥PABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
图2343
A．一条线段 B．一条直线
C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
【解析】 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.
∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
【答案】 D
二、填空题
6．如图2344，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.
图2344
【解析】 在三棱锥PABC中，
因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.
因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1.
【答案】 1
7．在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
【导学号：09960085】
【解析】 连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
【答案】 2
三、解答题
8．(2016·成都高一检测)如图2345，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
【导学号：09960086】
图2345
【证明】 ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，
PA⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
9．如图2346，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.
图2346
(1)求证：AE∥平面BCD；
(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.
【证明】 (1)取BC的中点M，连接DM，
因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2.
所以DM＝1，DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以DM⊥平面ABC，
又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.
又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.
(2)由(1)知AE∥DM，
又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，
所以DE∥AM.连接AM，易证AM⊥BC，
因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，
所以DE⊥平面BCD.
又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.
因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.
[自我挑战]
10．设m，n，l是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列说法正确的是( )
A．若m⊄α，l⊥α，则m∥α
B．若l⊥n，则m⊥n
C．若l⊥n，则m∥n
D．若m∥n，n⊂α，则l⊥α
【解析】
若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即B，C都不正确；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即D不正确；对于A，可在l上取一点P，过P作m′∥m，则m′⊥l，m′与l确定一个平面β，β∩α＝a，由l⊥α，得l⊥a，又m′，a，l同在平面β内，则由l⊥m′，l⊥a得m′∥a，于是m∥a，又m⊄α，所以m∥α.故选A.
【答案】 A
11．如图2347，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．
(1)如果二面角ADEC是直二面角，求证：AB＝AC；
(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.
图2347
【解】
(1)过点A作AM⊥DE于点M，
∵二面角ADEC是直二面角，
则AM⊥平面BCDE，
∴AM⊥BC.又AD＝AE，
∴M是DE的中点，取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.
又AM⊥BC，AM∩MN＝M，
∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.
又∵N是BC中点，∴AB＝AC.
(2)取BC的中点N，连接AN，
∵AB＝AC，∴AN⊥BC.
取DE的中点M，连接MN，AM，
∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，
∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.
又M是DE的中点，AD＝AE，
∴AM⊥DE.
又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，
∴AM⊥平面BCDE.
∵AM⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCDE.