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课时提升作业(二十五)
几类不同增长的函数模型
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若x∈(0,1),则下列结论正确的是 ( )
A.2x>>lgx B.2x>lgx>
C.>2x>lgx D.lgx>>2x
【解析】选A.结合y=2x,y=,及y=lgx的图象易知当x∈(0,1)时,2x>>lgx.
【补偿训练】当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是 ( )
A.y=100x B.y=log100x
C.y=x100 D.y=100x
【解析】选D.因为指数函数的增长是爆炸式增长,所以当x越来越大时,函数y=100x增长速度最快.
2.某工厂6年来生产甲种产品的情况是:前3年年产量的增大速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为 ( )
【解析】选A.由题意知前3年年产量增大速度越来越快,可知在单位时间内,C的值增大的很快,从而可判定结果.
3.(2015·潍坊高一检测)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示,现给出下列说法,其中正确的是 ( )
①前5分钟温度增加越来越快;
②前5分钟温度增加越来越慢;
③5分钟后温度保持匀速增加;
④5分钟后温度保持不变.
A.①④ B.②④ C.②③ D.①③
【解析】选C.前5分钟,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5分钟后,温度y随x变化呈直线,即温度匀速增加.故说法②③正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到 只.
【解析】由x=1时,y=100,得a=100,把x=7代入,得y=100log28=300.
答案:300
5.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为 .
【解析】由题意得解得所以y=-2×0.5x+2,所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
答案:1.75万件
三、解答题
6.(10分)(2015·昆明高一检测)树林中有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增加20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:
甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.
乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.
请计算后回答:十年内哪一个方案可以得到较多的木材?
【解题指南】栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐;或栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次,按这两种情形分别计算木材量进行比较即可.
【解析】设树林中这种数木的最初栽植量为a(a>0),甲方案在10年后树木产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a≈4a.
乙方案在10年后树木产量为:
y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a.
y1-y2=4a-4.98a<0,因此,乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算).
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·滁州高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是 ( )
【解析】选D.设该林区的森林原有蓄积量为a(a>0),由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.
【补偿训练】如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为四个选项中的
( )
【解析】选C.设AB=a,则y=a2-x2=-x2+a2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y轴上方.
2.(2015·天津高一检测)某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是 ( )
A.增加7.84% B.减少7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
【解析】选B.设该商品原价为a,四年后价格为a(1+0.2)2(1-0.2)2=0.9216a,所以(1-0.9216)a=0.0784a=7.84%a,即比原来减少了7.84%.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过 分钟,该病毒占据64MB内存(1MB=210KB).
【解析】设过n个3分钟后,该病毒占据64MB内存,
则2×2n=64×210=216,
所以n=15,故时间为15×3=45(分钟).
答案:45
【补偿训练】(2015·泰安高一检测)某产品计划每年成本降低p%,若三年后成本为a元,则现在成本为 .
【解析】设现在成本为m元,则m(1-p%)3=a,
所以m=.
答案:
4.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中关于x呈指数函数变化的函数是 .
【解析】从题表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1.
答案:y1
三、解答题
5.(10分)(2015·嘉兴高一检测)某地区为响应上级号召,在2015年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后,该地区的廉价住房为y万平方米,求y=f的表达式,并求此函数的定义域.
(2)作出函数y=f的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米?
【解析】(1)经过1年后,廉价住房面积为200+200×5%=200(1+5%);经过2年后为200(1+5%)2;
…
经过x年后,廉价住房面积为200(1+5%)x,
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N*).
(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0,x∈N*)的图象,如图所示.
作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时所经过的时间x的值.因为8