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课时提升作业(十)
椭圆的简单几何性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.已知F1，F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选B.由题意知4a=16，即a=4，
又因为e=，所以c=2，
所以b2=a2-c2=16-12=4，
所以椭圆的标准方程为+=1.
2.(2015·西安高二检测)两个正数1，9的等差中项是a，等比中项是b且b>0，则曲线+=1的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为a==5，b==3，
所以e==.
3.(2015·怀化高二检测)过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是 ( )
A.14 B.16 C.18 D.20
【解析】选C.如图设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|=|PF2|，|OP|=|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值
10+2×4=18，故选C.
4.设F1， F2是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，
△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.如图，
△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|=|F2F1|=2=2c⇒e==.
5.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.将x=-c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|=，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2=60°，
所以|PF2|=，根据椭圆定义得=2a，
从而可得e==.
【一题多解】选B.设|F1F2|=2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|=c，|PF2|=c.
所以|PF1|+|PF2|=2c=2a，离心率e==.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知椭圆+=1的离心率e=，则m的值为__________.
【解析】当焦点在x轴上时，a2=5，b2=m，
所以c2=a2-b2=5-m.
又因为e=，所以=，解得m=3.
当焦点在y轴上时，a2=m，b2=5，
所以c2=a2-b2=m-5.
又因为e=，所以=，解得m=.
故m=3或m=.
答案：3或
【误区警示】认真审题，防止丢解
在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定，则应该有两解.
7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0
又==1-≤，
所以≥，所以a2≤4，
又因为a2-1>0，所以a2>1，
所以1
8.(2015·嘉兴高二检测)已知椭圆+=1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当·取最小值时|+|的取值为__________.
【解析】由已知得a=2，b=，c=1，
所以F2(1，0)，A1(-2，0)，设P(x，y)，
则·=(1-x，-y)·(-2-x，-y)
=(1-x)(-2-x)+y2.
又点P(x，y)在椭圆上，所以y2=3-x2，代入上式，
得·=x2+x+1=(x+2)2.
又x∈，
所以当x=-2时，·取得最小值.
所以P(-2，0)，求得|+|=3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆过(3，0)，离心率e=.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.
【解析】(1)若焦点在x轴上，则a=3，
因为e==，
所以c=，所以b2=a2-c2=9-6=3.
所以椭圆的标准方程为+=1.
若焦点在y轴上，则b=3，
因为e====，解得a2=27.
所以椭圆的标准方程为+=1.
综上可知，所求椭圆标准方程为
+=1或+=1.
(2)设椭圆方程为+=1(a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，
所以c=b=4，所以a2=b2+c2=32，
故所求椭圆的标准方程为+=1.
10.设P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点，F1，F2是其左、右焦点.已知
∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围.
【解题指南】利用椭圆的定义得到a，b，c的不等式，再化为离心率求范围.
【解析】根据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a，①
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°==，
即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.②
①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③
由②③得|PF1||PF2|=.④
由①和④运用基本不等式，
得|PF1||PF2|≤，即≤a2.
由b2=a2-c2，故(a2-c2)≤a2，解得e=≥.
又因为e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为.
【一题多解】设椭圆与y轴交于B1，B2两点，
则当点P位于B1或B2时，点P对两个焦点的张角最大，
故∠F1B1F2≥∠F1PF2=60°，从而∠OB1F2≥30°.
在Rt△OB1F2中，e==sin∠OB1F2≥sin 30°=.
又因为e<1，
所以该椭圆的离心率的取值范围为.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.将椭圆C1：2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有 ( )
A.相等的短轴长 B.相等的焦距
C.相等的离心率 D.相等的长轴长
【解析】选C.把C1的方程化为标准方程，即
C1：+=1，从而得C2：+=1.
因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上.
e1==e2，故离心率相等.
2.(2015·广安高二检测)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点，若·=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由·=0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2=，设|PF2|=m，则|PF1|=2m，又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c=)，即4c2=5m2，c=m，而|PF2|+|PF1|=2a=3m，
所以a=.所以离心率e==.
【补偿训练】设e是椭圆+=1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是 ( )
A.(0，3) B.
C.(0，3)∪ D.(0，2)
【解析】选C.当k>4时，c=，
由条件知<<1，解得k>；
当0
解得0
3.在平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e=__________.
【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，
所以△OAP是等腰直角三角形，故=a，
解得e==.
答案：
4.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为__________.
【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，
所以S=×2c×b=bc=1≤=.
所以a2≥2.所以a≥，所以长轴长2a≥2.
答案：2
【拓展延伸】基本不等式在椭圆中的应用
在椭圆定义和性质中，有|PF1|+|PF2|=2a和a2=b2+c2两个等式，为基本不等式中“和定积最大”准备了条件.
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·成都高二检测)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2.求椭圆C的离心率.
【解题指南】由=2，建立关于参数a，c的等量关系，求其离心率便可.
【解析】不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，其中F是左焦点，B是上顶点，则F(-c，0)，B(0，b)，设D(x，y)，则(-c，-b)=2(x+c，y)，
所以
解得x=-c，y=-.
又因为点P在椭圆C上.
所以+=1.
整理得=，所以e==.
6.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(-2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意知
解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设P (x0，y0)，且+=1，
所以||2=(x0-m)2+
=-2mx0+m2+12
=-2mx0+m2+12
=(x0-4m)2-3m2+12.
所以||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.
由题意知，当x0=4时，||2最小，
所以4m≥4，所以m≥1.
又点M(m，0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.
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