课时达标检测（二十二）平面向量数量积的物理背景及其含义
一、选择题
1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
答案：B
3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
答案：D
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B.
C．－ D．－
答案：A
5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·等于( )
A．2 B.
C. D.
答案：D
二、填空题
6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝________.
答案：16
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为________．
答案：
8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.
答案：
三、解答题
9．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；
(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)；
(4)|a＋b|.
解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3；
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5；
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a|·|b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34；
(4)|a＋b|＝＝＝＝.
10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.
∴|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴
解得cos θ∈[，1]．
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立．
11．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.
(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.
令a＋b与a－b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.