第二章 随机变量及其分布
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
A级 基础巩固
一、选择题
1．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
解析：依题意知，用电单位X～B(n，p)，所以E(X)＝np.
答案：B
2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为( )
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A. B. C. D.
解析：根据概率和为1，可得x＝，
所以E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.
答案：C
3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )
A．20 B．25 C．30 D．40
解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝.所以X～B.故E(X)＝80×＝25.
答案：B
4．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(η)等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：因为ξ～B，所以E(ξ)＝.又E(ξ)＝15，则n＝30.所以η～B.故E(η)＝30×＝10.
答案：B
5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A. B. C．2 D.
解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
答案：D
二、填空题
6．已知X～B，则E(2X＋3)＝________．
解析：E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.
答案：103
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：
答案：0.4
8．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．
解析：P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝.
答案：
三、解答题
9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求：
(1)一次投篮时投中次数X的均值；
(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．
解：(1)X的分布列为
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.
(2)Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
故E(Y)＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.
10．甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值．
解：由题意，X的所有可能值是3，4，5.
P(X＝3)＝C×＋C×＝；
P(X＝4)＝C×××＋C×××＝；
P(X＝5)＝C×××＋C×××＝.
所以X的分布列为：
X
3
4
5
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
B级 能力提升
1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
解析：依题意X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
答案：B
2．设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________．
解析：因为P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
所以E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
所以14a＋6b＝3.①
又因为(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
所以6a＋3b＝1.②
由①②可知a＝，b＝－，所以a＋b＝－.
答案：－
3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？” 代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.？5
0.10
0.1？
0.20
(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；
(2)求E(X)；
(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．
解：(1)由分布列的性质可知
0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.
故0.？5＋0.1？＝0.40.
由于小数点后只有两位有效数字，
故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.
即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0. 15.
(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.
(3)法一 由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，
E(η)＝E(X)＝3.50.
法二 由于η＝2X－E(X)，
所以η的分布列如下：
η
－1.5
0.5
2.5
4.5
6.5
8.5
P
0.20
0.10
0.25
0.10
0.15
0.20
所以E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.